CM: $\frac{(np)!}{p^n.n!}$ là số nguyên dương
$(np)! \equiv (p!)^n.n! (mod p^{n+3})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngovtbx: 08-08-2013 - 21:23
CM: $\frac{(np)!}{p^n.n!}$ là số nguyên dương
$(np)! \equiv (p!)^n.n! (mod p^{n+3})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngovtbx: 08-08-2013 - 21:23
CM: $\frac{(np)!}{p^n.n!}$ là số nguyên dương
$(np)! \equiv (p!)^n.n! (mod p^{n+3})$
Cái đầu tiên chỉ cần dùng công thức De ' Polignac được phát biểu như sau :
Định nghĩa $v_p(n)$ là số mũ cao nhất của $p$ tr0ng khai triển ra số nguyên tố của $n$ thì lúc đó :
$$v_p(n!)=\left[\frac{n}{p}\right]+\left[\frac{n}{p^2}\right]+\left[\frac{n}{p^3}\right]+....=\frac{n-x_p(n)}{p-1}$$
Với $x_p(n)$ là tổng các chữ số của $n$ tr0ng hệ cơ số $p$
Chứng minh vế 1 bằng vế 2 hoàn toàn đơn giản do từ $1$ đến $n$ có $\left[\frac{n}{p}\right]$ số chia hết ch0 $p$, $\left[\frac{n}{p^2}\right]$ số chia hết ch0 $p^2$....,$\left[\frac{n}{p^s}\right]$ số chia hết ch0 $p^s$ nên ta có ĐPCM
Cồn chứng minh vế 2 bằng vế 3 bằng cách giả sử $n=\sum_{i=0}^{r}\alpha_{i}.p^{i}$ (Với $0\leq \alpha_{i}<p$), lúc đó $x_p(n)=\sum_{i=0}^{r}\alpha_{i}$ và bằng hằng đẳng thức quen thuộc $\frac{p^{s}-1}{p-1}=1+p+p^2+...+p^{s-1}$ ta cũng có đpcm.
-----
Quay trở lại bài toán, ta cần chứng minh : $\frac{(np)!}{n!}\vdots p^n$ hay là :
$$v_p\left(\frac{(np)!}{n!}\right)\geq n$$
$$\Leftrightarrow v_p((np)!)\geq v_p(n!)+n$$
Áp dụng công thức trên, ta cần chứng minh :
$$\frac{np-x_p(np)}{p-1}\geq \frac{n-x_p(n)}{p-1}+n$$
Để ý $x_p(np)=x_p(n)$ nên bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức. Ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả rút ra : $$v_p\left(\frac{(np)!}{n!}\right)= n$$
----
Bạn xem lại hộ mình câu sau nhé. $n=p=2$ thì hệ thức đồng dư đó không đúng nữa ...
Với $p\geq 5$ xét đa thức $f(x)=(x-1)(x-2)...(x-p+1)$ sau đó cm $f(mp)\equiv f(p)(Mod p^{3})\forall m \in \mathbb{N}^{*}$ ta có đpcm.
Bạn có thể nói rõ hơn được không, phần sau đấy thì thế nào?
$f(x)=(x-1)(x-2)...(x-p+1)=x^{p-1}+a_{p-2}x^{p-2}+...+a_1x+a_0$
Theo định lý wolsten holme, ta có:
$a_i \vdots p$
$a_1 \vdots p^2$
$\Rightarrow f(mp) \equiv a_0 (mod p^3) \Rightarrow f(mp) \equiv f(p) (mod p^3)$
$p^n.n!.f(p).f(2p)...f((n-1)p) \equiv n!.p^n.(f(p))^n (mod p^{n+3}) $
$\Rightarrow Q.E.D$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh