Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{(np)!}{p^n.n!}$ nguyên dương

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
ngovtbx

ngovtbx

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

CM: $\frac{(np)!}{p^n.n!}$ là số nguyên dương 

$(np)! \equiv  (p!)^n.n! (mod p^{n+3})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngovtbx: 08-08-2013 - 21:23


#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

CM: $\frac{(np)!}{p^n.n!}$ là số nguyên dương 

$(np)! \equiv  (p!)^n.n! (mod p^{n+3})$

Cái đầu tiên chỉ cần dùng công thức De ' Polignac được phát biểu như sau :

Định nghĩa $v_p(n)$ là số mũ cao nhất của $p$ tr0ng khai triển ra số nguyên tố của $n$ thì lúc đó :

$$v_p(n!)=\left[\frac{n}{p}\right]+\left[\frac{n}{p^2}\right]+\left[\frac{n}{p^3}\right]+....=\frac{n-x_p(n)}{p-1}$$ 

Với $x_p(n)$ là tổng các chữ số của $n$ tr0ng hệ cơ số $p$

Chứng minh vế 1 bằng vế 2 hoàn toàn đơn giản do từ $1$ đến $n$ có $\left[\frac{n}{p}\right]$ số chia hết ch0 $p$,  $\left[\frac{n}{p^2}\right]$ số chia hết ch0 $p^2$....,$\left[\frac{n}{p^s}\right]$ số chia hết ch0 $p^s$ nên ta có ĐPCM

Cồn chứng minh vế 2 bằng vế 3 bằng cách giả sử $n=\sum_{i=0}^{r}\alpha_{i}.p^{i}$ (Với $0\leq \alpha_{i}<p$), lúc đó $x_p(n)=\sum_{i=0}^{r}\alpha_{i}$ và bằng hằng đẳng thức quen thuộc $\frac{p^{s}-1}{p-1}=1+p+p^2+...+p^{s-1}$ ta cũng có đpcm.

-----

Quay trở lại bài toán, ta cần chứng minh : $\frac{(np)!}{n!}\vdots p^n$ hay là :

$$v_p\left(\frac{(np)!}{n!}\right)\geq n$$

$$\Leftrightarrow v_p((np)!)\geq v_p(n!)+n$$

Áp dụng công thức trên, ta cần chứng minh :

$$\frac{np-x_p(np)}{p-1}\geq \frac{n-x_p(n)}{p-1}+n$$

Để ý $x_p(np)=x_p(n)$ nên bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức. Ta có điều phải chứng minh. 

Hệ quả rút ra : $$v_p\left(\frac{(np)!}{n!}\right)= n$$

----

Bạn xem lại hộ mình câu sau nhé. $n=p=2$ thì hệ thức đồng dư đó không đúng nữa ...


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#3
Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết

CM: $\frac{(np)!}{p^n.n!}$ là số nguyên dương 

$(np)! \equiv  (p!)^n.n! (mod p^{n+3})$

Với $p\geq 5$ xét đa thức $f(x)=(x-1)(x-2)...(x-p+1)$ sau đó cm $f(mp)\equiv f(p)(Mod p^{3})\forall m \in \mathbb{N}^{*}$ ta có đpcm.



#4
ntuan5

ntuan5

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Với $p\geq 5$ xét đa thức $f(x)=(x-1)(x-2)...(x-p+1)$ sau đó cm $f(mp)\equiv f(p)(Mod p^{3})\forall m \in \mathbb{N}^{*}$ ta có đpcm.

Bạn có thể nói rõ hơn được không, phần sau đấy thì thế nào?



#5
ngovtbx

ngovtbx

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết

$f(x)=(x-1)(x-2)...(x-p+1)=x^{p-1}+a_{p-2}x^{p-2}+...+a_1x+a_0$

Theo định lý wolsten holme, ta có:

$a_i \vdots p$

$a_1 \vdots p^2$

$\Rightarrow f(mp) \equiv a_0 (mod p^3) \Rightarrow f(mp) \equiv f(p) (mod p^3)$

$p^n.n!.f(p).f(2p)...f((n-1)p) \equiv n!.p^n.(f(p))^n (mod p^{n+3}) $

$\Rightarrow Q.E.D$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh