Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F,G,H theo thứ tự là tâm các hình vuông có cạnh AB, BC, CD, DA
dựng ra phía ngoài tứ giác. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Trung điểm các đường chéo của các tứ giác ABCD, EFGH là đỉnh của một hình vuông.
$a)$ Xét bài toán: Cho tam giác $ABC.$ Dựng hình vuông $ABEF$ và $ACGH$ phía ngoài tam giác. $P,$ $Q$ theo thứ tự là tâm của hình vuông $ABEF$ và $ACGH.$ Lấy $M$ trung điểm $BC.$ Chứng minh tam giác $PQM$ vuông cân tại $M.$
Lời giải:
Dễ dàng chứng minh được $MP$ và $MQ$ theo thứ tự là đường trung bình của tam giác $BCF$ và $BCH.$
Suy ra $MP\parallel CF\ ;\ MP=\dfrac{1}{2}CF$ và $MQ\parallel BH\ ;\ MQ=\dfrac{1}{2}BH.\ \ \ (1)$
Ta có:
$\widehat{BAH}=\widehat{BAF}+\widehat{FAH}=90^{\circ}+\widehat{FAH}$
$\widehat{CAF}=\widehat{CAH}+\widehat{FAH}=90^{\circ}+\widehat{FAH}$
Do đó $\widehat{BAH}=\widehat{CAF}.$
Từ đó chứng minh được $\bigtriangleup AFC=\bigtriangleup ABH\ (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{FCA}=\widehat{BHA}$
Gọi $I$ và $O$ theo thứ tự là giao điểm của $CF$ với $BH$ và $AH.$
Khi đó $\widehat{OCA}=\widehat{IHO}$
Mà $\widehat{OCA}+\widehat{AOC}=90^{\circ}$ và $\widehat{AOC}=\widehat{IOH}$ $($đối đỉnh$)$
Nên $\widehat{IHO}+\widehat{IOH}=90^{\circ},$ suy ra $\widehat{HIO}=90^{\circ}$
Do đó $IH\perp IO$ hay $BH\perp CF.\ \ \ \ (2)$
Vì $\bigtriangleup AFC=\bigtriangleup ABH\ (c.g.c)$ nên $CF=BH.\ \ \ \ \ (3)$
Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra $MP=MQ$ và $MP\perp MQ.$ Vậy tam giác $MPQ$ vuông cân tại $M.$
$$\bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar$$
Quay lại bài toán. Gọi $M$ là trung điểm $AC$
Áp dụng kết quả trên, ta chứng minh được tam giác $EMF$ và $HMG$ vuông cân tại $M.$
Từ đó chứng minh được $\bigtriangleup MEG=\bigtriangleup MFH\ (c.g.c)$
Rồi suy ra $EG=HF$ và $EG\perp HF.$
$b)$ Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm $HF$ và $EG$
Từ $\bigtriangleup MEG=\bigtriangleup MFH\ (c.g.c)$ dễ dàng chứng minh được $\bigtriangleup MPF=\bigtriangleup MQE\ (c.g.c)$
Suy ra $MP=MQ$ và $\widehat{PMF}=\widehat{QME}\ \Rightarrow\ \widehat{PMQ}=\widehat{EMF}=90^{\circ}$
Do đó tam giác $MPQ$ vuông cân tại $M$
Gọi $N$ trung điểm $BD.$ Chứng minh tương tự như trên, ta được tam giác $NPQ$ vuông cân tại $N.$
Suy ra tứ giác $MPNQ$ là hình vuông.