Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh hia đường chéo vuông góc và bằng nhau


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Vo Sy Nguyen

Vo Sy Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết

Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F,G,H theo thứ tự là tâm các hình vuông có cạnh AB, BC, CD, DA 

dựng ra phía ngoài tứ giác. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.

b) Trung điểm các đường chéo của các tứ giác ABCD, EFGH là đỉnh của một hình vuông.



#2
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F,G,H theo thứ tự là tâm các hình vuông có cạnh AB, BC, CD, DA 

dựng ra phía ngoài tứ giác. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.

b) Trung điểm các đường chéo của các tứ giác ABCD, EFGH là đỉnh của một hình vuông.

$a)$ Xét bài toán: Cho tam giác $ABC.$ Dựng hình vuông $ABEF$ và $ACGH$ phía ngoài tam giác. $P,$ $Q$ theo thứ tự là tâm của hình vuông $ABEF$ và $ACGH.$ Lấy $M$ trung điểm $BC.$ Chứng minh tam giác $PQM$ vuông cân tại $M.$

Lời giải: 

sdfghjkl;'.png

Dễ dàng chứng minh được $MP$ và $MQ$ theo thứ tự là đường trung bình của tam giác $BCF$ và $BCH.$

Suy ra $MP\parallel CF\ ;\ MP=\dfrac{1}{2}CF$ và $MQ\parallel BH\ ;\ MQ=\dfrac{1}{2}BH.\ \ \ (1)$

Ta có: 

$\widehat{BAH}=\widehat{BAF}+\widehat{FAH}=90^{\circ}+\widehat{FAH}$

$\widehat{CAF}=\widehat{CAH}+\widehat{FAH}=90^{\circ}+\widehat{FAH}$

Do đó $\widehat{BAH}=\widehat{CAF}.$

Từ đó chứng minh được $\bigtriangleup AFC=\bigtriangleup ABH\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{FCA}=\widehat{BHA}$

Gọi $I$ và $O$ theo thứ tự là giao điểm của $CF$ với $BH$ và $AH.$

Khi đó $\widehat{OCA}=\widehat{IHO}$

Mà $\widehat{OCA}+\widehat{AOC}=90^{\circ}$ và $\widehat{AOC}=\widehat{IOH}$ $($đối đỉnh$)$

Nên $\widehat{IHO}+\widehat{IOH}=90^{\circ},$ suy ra $\widehat{HIO}=90^{\circ}$

Do đó $IH\perp IO$ hay $BH\perp CF.\ \ \ \ (2)$

 

Vì $\bigtriangleup AFC=\bigtriangleup ABH\ (c.g.c)$ nên $CF=BH.\ \ \ \ \ (3)$

 

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra $MP=MQ$ và $MP\perp MQ.$ Vậy tam giác $MPQ$ vuông cân tại $M.$

$$\bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar \bigstar$$

123456.png

Quay lại bài toán. Gọi $M$ là trung điểm $AC$

Áp dụng kết quả trên, ta chứng minh được tam giác $EMF$ và $HMG$ vuông cân tại $M.$

Từ đó chứng minh được $\bigtriangleup MEG=\bigtriangleup MFH\ (c.g.c)$

Rồi suy ra $EG=HF$ và $EG\perp HF.$

 

$b)$ Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm $HF$ và $EG$

Từ $\bigtriangleup MEG=\bigtriangleup MFH\ (c.g.c)$ dễ dàng chứng minh được $\bigtriangleup MPF=\bigtriangleup MQE\ (c.g.c)$

Suy ra $MP=MQ$ và $\widehat{PMF}=\widehat{QME}\ \Rightarrow\ \widehat{PMQ}=\widehat{EMF}=90^{\circ}$

Do đó tam giác $MPQ$ vuông cân tại $M$

Gọi $N$ trung điểm $BD.$ Chứng minh tương tự như trên, ta được tam giác $NPQ$ vuông cân tại $N.$

Suy ra tứ giác $MPNQ$ là hình vuông.



#3
Ho Tien Duc

Ho Tien Duc

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Cho mình hỏi sao từ viêc chứng minh tam giác MEG= tam giác MFH thì ta suy ra được EG vuông góc với HF vậy? Bạn làm ơn nói rõ giùm mình 



#4
vkhoa

vkhoa

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 933 Bài viết

Cho mình hỏi sao từ viêc chứng minh tam giác MEG= tam giác MFH thì ta suy ra được EG vuông góc với HF vậy? Bạn làm ơn nói rõ giùm mình 

gọi I là giao điểm của EM với FH, J là giao điểm EG với FH

ta có $\widehat{MIF} +\widehat{MFH} =90^\circ$

mà $\widehat{MIF} =\widehat{EIJ}$ và $\widehat{MFH} =\widehat{MEJ}$(do tam giác MEG= tam giác MFH)

=>$\widehat{EIJ} +\widehat{IEJ} =90^\circ$

=>$\widehat{EJI} =90^\circ$(đpcm)






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh