4 replies to this topic

[chinhanh9]

Tính các nguyên hàm sau:

1. $I_1=\int \frac{\sin ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}dx$

2. $I_2=\int \frac{dx}{\sin ^{3}x\cos ^{3}x}$

3. $I_3=\int \frac{2\cos x-3\sin x}{2\sin x-3\cos x+1}dx$

[duongtoi]

Tính các nguyên hàm sau:

1. $I_1=\int \frac{\sin ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}dx$

2. $I_2=\int \frac{dx}{\sin ^{3}x\cos ^{3}x}$

3. $I_3=\int \frac{2\cos x-3\sin x}{2\sin x-3\cos x+1}dx$

Bài 1:

Chia cả tử và mẫu cho $\cos^2x$.

Đặt $\tan x=t$. Ta biến đổi tích phân về dạng tích phân hữu tỷ.

Sử dụng phương pháp tính tích phân hữu tỷ là ra ngay thôi.

Bài 2:

Nhân cả tử và mẫu với 8. Ta có mẫu số trở thành $\sin^32x$.

Nhân cả tử và mẫu với $\sin 2x$ và đặt $\cos 2x=t$.

Ta biến đổi tích phân về dạng tích phân hữu tỷ.

Sử dụng phương pháp tính tích phân hữu tỷ là ra ngay thôi.

Bài 3:

Đặt $t=\tan\frac{x}{2}$.

Ta biến đổi tích phân về dạng tích phân hữu tỷ.

Sử dụng phương pháp tính tích phân hữu tỷ là ra ngay thôi.

[duongtoi]

Tính các nguyên hàm sau:

1. $I_1=\int \frac{\sin ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}dx$

2. $I_2=\int \frac{dx}{\sin ^{3}x\cos ^{3}x}$

3. $I_3=\int \frac{2\cos x-3\sin x}{2\sin x-3\cos x+1}dx$

Bài 1:

Ta có $I_1=\int \frac{\sin ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}{\rm d}x=\int \frac{\tan^2x}{\frac{1}{\cos^2x}+1}{\rm d}x=\int \frac{\tan^2x}{\tan^2x+2}{\rm d}x$

Đặt $\tan x=t$. Ta có ${\rm d}t=(1+\tan^2 x){\rm d}x\Leftrightarrow {\rm d}x=\frac{{\rm d}t}{t^2+1}$

Do vậy, $I_1=\int\frac{t^2}{(t^2+1)(t^2+2)}{\rm d}t=\int\left (\frac{2}{t^2+2} -\frac{1}{t^2+1} \right ){\rm d}t$

$=2\int\frac{1}{t^2+2}{\rm d}t-\arctan t$

Tích phần còn lại, tiếp tục đặt $t=\sqrt 2\tan u\Rightarrow {\rm d}t=\sqrt2(1+\tan^2u){\rm d}u$

Nên $\int\frac{\sqrt 2(1+\tan^2u)}{2(1+\tan^2u)}{\rm d}u=\frac{\sqrt2}{2}u+C=\frac{\sqrt2}{2}\arctan\frac{t}{\sqrt2}+C$

Vậy $I_1=\sqrt2\arctan\frac{t}{\sqrt2}+C-\arctan t+C$

[duongtoi]

2. $I_2=\int \frac{dx}{\sin ^{3}x\cos ^{3}x}$

Ta có $I_2=\int \frac{{\rm d}x}{\sin ^{3}x\cos ^{3}x}=8\int \frac{{\rm d}x}{\sin ^{3}2x}=8\int \frac{\sin2x{\rm d}x}{(1-\cos^22x)^2}$

Đặt $\cos 2x=t\Rightarrow {\rm d}t=-2\sin 2x{\rm d}x$.

Do vậy, $I_2=-4\int \frac{{\rm d}t}{(1-t^2)^2}=-\int\left ( \frac{1}{(t-1)^2}+\frac{1}{(t+1)^2}-\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t+1} \right ){\rm d}t$

$=\frac{1}{t-1}+\frac{1}{t+1}+\ln\left | \frac{t-1}{t+1} \right |+C$

Thay $x$ vào là OK.

[duongtoi]

Bài 3:

Bạn nên xem lại đề nhé.

Phương pháp giải của mình là đúng, nhưng áp dụng vào bài này sẽ rất phức tạp vì khó trong phần tính tích phân hữu tý sau đó.