Giải
- Nhận thấy: x = 0 không phải là nghiệm của phương trình.
- Với $x \neq 0$, chia hai vế của phương trình cho $x^2$, ta được:
$x^2 - 4mx + m + 1 - \dfrac{4m}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 0$
$\Leftrightarrow \left ( x + \dfrac{1}{x} \right )^2 - 4m \left ( x + \dfrac{1}{x}\right ) + m - 1 = 0$
Đặt $x + \dfrac{1}{x} = t \, (|t| \geq 2)$, ta được: $t^2 - 4mt + m - 1 = 0 \, (\star)$
Phương trình trên có biệt thức $\Delta' = (2m)^2 - (m - 1) = 4m^2 - m + 1 > 0$ nên luôn có hai nghiệm phân biệt $t_1, t_2$ thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix}t_1 + t_2 = 4m\\t_1.t_2 = m - 1\end{matrix}\right.$
Phương trình ban đầu vô nghiệm khi $\star$ có hai nghiệm thỏa mãn: $|t| < 2$
Điều này đồng nghĩa rằng:
$\left\{\begin{matrix}t_1^2 + t_2^2 < 8\\(t_1^2 - 4)(t_2^2 - 4) > 0\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}(4m)^2 - 2(m - 1) < 8\\(m - 1)^2 - 4(16m^2 - 2m + 2) + 16 > 0\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{1 - \sqrt{97}}{16} < m < \dfrac{1 + \sqrt{97}}{16}\\\dfrac{-1}{3} < m < \dfrac{3}{7}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \dfrac{-1}{3} < m < \dfrac{3}{7}$
Vậy, phương trình ban đầu có nghiệm khi: $m \leq \dfrac{-1}{3}$ hoặc $m \geq \dfrac{3}{7}$
Bạn thử kiểm tra lại kết quả cái hen!