Chủ đề này có 2 trả lời

[zarya]

Tính $D=\left | a_{ij} \right |$ trong đó $a_{ij}=\left | i-j \right |, 1\leq i,j\leq n.$

[duong vi tuan]

Mình tính trường hợp = 4 , trường hợp n tính tương tự :

thay dòng j bởi dòng j trừ dòng j-1

$\begin{vmatrix}0 &1  &2  &3 \\ 1 &  0&1  & 2\\ 2& 1 &  0& 1\\  3&  2&  1& 0\end{vmatrix}$

$= \begin{bmatrix}0 &  1&  2&3 \\ 1&  -1&  -1& -1\\  1&  1& -1 & -1\\ 1&  1&  1& -1\end{bmatrix}$

cộng cột cuối cho mấy cột còn lại

$=\begin{vmatrix}3 &  4&  5& 3\\ 0&  -2&  -2& -1\\ 0&  0&  -2& -1\\  0&  0&  0& -1\end{vmatrix}=(-1)^32^23$

 

 Nhận xét : tổng quat có lẽ là vầy : $(-1)^{n-1}2^{n-2}(n-1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 19-08-2013 - 09:16

[vo van duc]

Tính $D=\left | a_{ij} \right |$ trong đó $a_{ij}=\left | i-j \right |, 1\leq i,j\leq n.$

Nhận xét về trường hợp định thức cấp n của bạn Duong Vi Tuan là hoàn toàn chính xác. Cụ thể ta có cách tính định thức này khá đơn giản như sau:

$D=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1\\ 1 & 0 & 1 & \cdots & n-3 & n-2\\ 2 & 1 & 0 & \cdots & n-4 & n-3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 0 & 1\\ n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 0 \end{vmatrix}$

Thay cột $i$ bằng cột $i$ trừ cột $i+1$ với $i=1,2,...,n-1$, ta có

$D=\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & n-1\\ 1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & n-2\\ 1 & 1 & -1 & \cdots & -1 & n-3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \end{vmatrix}$

Thay hàng $i$ bằng hàng $i$ cộng hàng 1 với $i=2,3,...,n$, ta có

$D=\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & n-1\\ 0 & -2 & -2 & \cdots & -2 & 2n-3\\ 0 & 0 & -2 & \cdots & -2 & 2n-4\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & n\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & n-1 \end{vmatrix}=(-1)^{n-1}2^{n-2}(n-1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 19-08-2013 - 22:42