Đến nội dung


Hình ảnh

$u_{n}=\frac{u_{n-1}\times u_{n-2}+ k }{u_{n-3}}$

dãy số chia hết olympic toán thi học sinh giỏi

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 xxSneezixx

xxSneezixx

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Gia Định _ TP. HCM

Đã gửi 09-08-2013 - 17:16

Cho dãy số $u_{n}$ biết $u_{1}=u_{2}= 1, u_{3}=2, u_{n}=\frac{u_{n-1}\times u_{n-2}+ k }{u_{n-3}}$ 

Định k để mọi số hạng của dãy số $u_{n}$ đều là số nguyên. 

 

 

 

 

 


$$\mathfrak{Curiosity}$$

 


#2 mathforlife

mathforlife

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Đã gửi 13-08-2013 - 17:10

Từ gt $u_4=2+k$ mà $u_4 \in Z$ nên $k \in Z$

từ công thức truy hồi $u_{n}u_{n-3} - u_{n-1}u_{n-2}=k=u_{n-1}u_{n-4} - u_{n-2}u_{n-3}$

hay $ \frac {u_{n} + u_{n-2}}{u_{n-1}}=\frac{u_{n-2}+u_{n-4}}{u_{n-3}}$

suy ra $\frac{u_{2k}+u_{2k-2}}{u_{2k-1}}=\frac{u_4+u_2}{u_3}=\frac{3+k}{2}$

$\frac{u_{2k+1}+u_{2k-1}}{u_{2k}}=\frac{u_3+u_1}{u_2}=3$

suy ra $u_{2k}=\frac{3+k}{2}u_{2k-1}-u_{2k-2}$ (1)

$u_{2k+1}=3u_{2k}-u_{2k-1}$ (2)

Nếu k lẻ thì hiển nhiên $u_n \in Z \forall n$

giả sử tồn tại k chẵn thoả mãn. từ (1) suy ra $u_n \equiv 0 (mod2) \forall n\equiv 1(mod2)$

kết hợp (2) suy ra $u_n \equiv 0 (mod2) \forall n\equiv 0(mod2)$

lại kết hợp (1) suy ra $u_n \equiv 0 (mod4) \forall n\equiv 1(mod2)$

kết hợp (2) suy ra $u_n \equiv 0 (mod4) \forall n\equiv 0(mod2)$

Tiếp tục lập luận như vậy ta sẽ suy ra được điều vô lý.

Vậy đáp số bài toán là $k \in Z, k \equiv 1(mod2)$

 

P/s: không biết đúng khôgn nữa :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathforlife: 13-08-2013 - 17:13






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dãy số, chia hết, olympic, toán thi học sinh giỏi

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh