Đến nội dung


Hình ảnh

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh: $\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 mathandyou

mathandyou

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-08-2013 - 21:51

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathandyou: 09-08-2013 - 22:26

:( ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..  :unsure:

:)ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. :lol:
@};- -Khải Hoàn-

#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4261 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 09-08-2013 - 22:35

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$

Lời giải. Ta có $\frac{1}{2-a} \ge \frac{a^2+1}{2} \Leftrightarrow a(a-1)^2 \ge 0$, đúng.

Tượng tự và cộng lại ta có đpcm.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 tuannguyenhue1

tuannguyenhue1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hoa quả sơn

Đã gửi 09-08-2013 - 22:35

ta có  $\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^{2}+1}{2}$ đoạn này mình không biết chứng minh nên tự túc nhé



#4 khong la gi ca

khong la gi ca

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Hồ Chí Minh

Đã gửi 09-08-2013 - 22:48

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$

 

BĐT đã cho tương đương với

$$ \frac{2}{2-a} + \frac{2}{2-b} + \frac{2}{2-c} \geq 6 $$

$$ \Leftrightarrow 1 + \frac{a}{2-a} + 1 + \frac{b}{2-b} + 1 + \frac{c}{2-c} \geq 6 $$

hay

$$ \frac{a}{2-a}  + \frac{b}{2-b} +  \frac{c}{2-c} \geq 3 $$

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz
$$ \frac{a}{2-a}  + \frac{b}{2-b} +  \frac{c}{2-c} =  \frac{a^2}{2a-a^2}  + \frac{b^2}{2b-b^2} +  \frac{c^2}{2c-c^2} \geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{2a-a^2+2b-b^2+2c-c^2} = \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{2\left ( a+b+c \right )-3} $$
Đặt $t=a+b+c$. Theo giả thiết kết hợp với BĐT Cauchy - Schwarz thì

$$ 3 = a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{3} \Rightarrow \left ( a+b+c \right )^2 = t^2 \leq 9 $$
Do đk $a,b,c>0$ nên ta được $0<t \leq 3$
Xét hàm số
$f(t) = \frac{t^2}{2t-3}$ với $t \in (0,3])$
có $f'(t) = \frac{2t^2-6t}{(2t-3)^2} \leq 0 \forall t \in (0,3]$
suy ra $f$ là hàm nghịch biến trên $(0,3]$

vậy $f(t) \geq f(3) = 3$.
Từ đây ta có đpcm

Lưu ý là ta ko đc quyền đánh giá
$$  \frac{t^2}{2t-3} \geq 3 $$
$$ \Leftrightarrow t^2 - 6t + 9 \geq 0 $$

$$ \Leftrightarrow (t-3)^2 \geq 0 $$

vì ta ko chắc $2t-3 \geq 0$ (ta chỉ có đc $0<t\leq3$)   :)

 

 


"The Universe appears to be flawed.

If things exist because they ought to,

why are they not much better than they are?"


#5 khanh2711999

khanh2711999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 11-08-2013 - 10:20

áp dụng BĐT Cô-sy

a2 + 1 $\geq$ 2a

$\Leftrightarrow$ 1 $\geqslant$ a2 (2 - a ) 

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2-a}$ $\geqslant$ a2              (1)

tương tự áp dụng bất đẳng thức Cô-sy với 2 số

$\Rightarrow$ $\frac{1}{2-b}$ $\geqslant$ b2                    (2)

                   và $\frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ c2                    (3)

(1)(2)(3) $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ a+ b2 + c2

               $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a}+ \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$$\geqslant$ 1

            $\Rightarrow$ ta có đpcm

dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=1



#6 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 13-08-2013 - 18:02

a2 + 1 $\geq$ 2a

$\Leftrightarrow$ 1 $\geqslant$ a2 (2 - a ) 

Đoạn này cần xem lại nhé 


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#7 megamanvui

megamanvui

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 13-08-2013 - 20:58

AM-GM 4 số

$\sqrt[4]{1-x^{2}} \leq \frac{1-x+1+x+1+1}{4} = 1$

$\sqrt[4]{1+x} \leq \frac{1+x+1+1+1}{4} = 1+1/x$

$\sqrt[4]{1-x} \leq \frac{1-x+1+1+1}{4} = 1-1/x$

$VT <= 3$

$=> s={0}$



#8 THYH

THYH

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 119 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1-THPT Quốc Học Quy Nhơn
  • Sở thích:Ăn - ngủ

Đã gửi 13-08-2013 - 22:45

áp dụng BĐT Cô-sy

a2 + 1 $\geq$ 2a

$\Leftrightarrow$ 1 $\geqslant$ a2 (2 - a ) 

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2-a}$ $\geqslant$ a2              (1)

tương tự áp dụng bất đẳng thức Cô-sy với 2 số

$\Rightarrow$ $\frac{1}{2-b}$ $\geqslant$ b2                    (2)

                   và $\frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ c2                    (3)

(1)(2)(3) $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ a+ b2 + c2

               $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a}+ \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$$\geqslant$ 1

            $\Rightarrow$ ta có đpcm

dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=1

chỗ bôi đỏ xót từ đó: $a^2+1\geq 2a\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}\geq a^{2}$

tương tự có:$\frac{b}{2-b}\geq b^{2}$, $\frac{c}{2-c}\geq c^{2}$

ta có đề $\Leftrightarrow \frac{2}{2-a}+\frac{2}{2-b}+\frac{2}{2-c}\geq 6$

 

$\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\geq 3$

+ 3 cái trên lại dễ dang c.m đc.....


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi THYH: 13-08-2013 - 22:45

''math + science = success''


TVT


#9 germany3979

germany3979

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Đã gửi 20-08-2013 - 11:05

Bạn ơi 2-a chắc là dương chưa???



#10 mathandyou

mathandyou

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-08-2013 - 11:26

Bạn ơi 2-a chắc là dương chưa???

$\sqrt{3} > a$


:( ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..  :unsure:

:)ĐỪNG NẢN LÒNG HÃY CỐ GẮNG VƯỢT QUA. :lol:
@};- -Khải Hoàn-

#11 germany3979

germany3979

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Đã gửi 24-08-2013 - 12:07

Tại sao $a< \sqrt{3}$ vậy bạn ơi???



#12 khanv

khanv

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 11-06-2016 - 00:55

Bài 3: Cho a,b,c>0 t/m: a+b+c=3. Tìm Min P=2(a+b+c)+(1a+1b+1c)P=2(a+b+c)+(1a+1b+1c). mọi người cho hỏi bài này với






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh