Chủ đề này có 11 trả lời

[mathandyou]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathandyou: 09-08-2013 - 22:26

[Zaraki]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$

Lời giải. Ta có $\frac{1}{2-a} \ge \frac{a^2+1}{2} \Leftrightarrow a(a-1)^2 \ge 0$, đúng.

Tượng tự và cộng lại ta có đpcm.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.

[tuannguyenhue1]

ta có  $\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^{2}+1}{2}$ đoạn này mình không biết chứng minh nên tự túc nhé

[khong la gi ca]

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$

 

BĐT đã cho tương đương với

$$ \frac{2}{2-a} + \frac{2}{2-b} + \frac{2}{2-c} \geq 6 $$

$$ \Leftrightarrow 1 + \frac{a}{2-a} + 1 + \frac{b}{2-b} + 1 + \frac{c}{2-c} \geq 6 $$

hay

$$ \frac{a}{2-a}  + \frac{b}{2-b} +  \frac{c}{2-c} \geq 3 $$

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz
$$ \frac{a}{2-a}  + \frac{b}{2-b} +  \frac{c}{2-c} =  \frac{a^2}{2a-a^2}  + \frac{b^2}{2b-b^2} +  \frac{c^2}{2c-c^2} \geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{2a-a^2+2b-b^2+2c-c^2} = \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{2\left ( a+b+c \right )-3} $$
Đặt $t=a+b+c$. Theo giả thiết kết hợp với BĐT Cauchy - Schwarz thì

$$ 3 = a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{3} \Rightarrow \left ( a+b+c \right )^2 = t^2 \leq 9 $$
Do đk $a,b,c>0$ nên ta được $0<t \leq 3$
Xét hàm số
$f(t) = \frac{t^2}{2t-3}$ với $t \in (0,3])$
có $f'(t) = \frac{2t^2-6t}{(2t-3)^2} \leq 0 \forall t \in (0,3]$
suy ra $f$ là hàm nghịch biến trên $(0,3]$

vậy $f(t) \geq f(3) = 3$.
Từ đây ta có đpcm

Lưu ý là ta ko đc quyền đánh giá
$$  \frac{t^2}{2t-3} \geq 3 $$
$$ \Leftrightarrow t^2 - 6t + 9 \geq 0 $$

$$ \Leftrightarrow (t-3)^2 \geq 0 $$

vì ta ko chắc $2t-3 \geq 0$ (ta chỉ có đc $0<t\leq3$)  

 

 

[khanh2711999]

áp dụng BĐT Cô-sy

a² + 1 $\geq$ 2a

$\Leftrightarrow$ 1 $\geqslant$ a² (2 - a ) 

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2-a}$ $\geqslant$ a^{2              (1)}

tương tự áp dụng bất đẳng thức Cô-sy với 2 số

$\Rightarrow$ $\frac{1}{2-b}$ $\geqslant$ b^{2                    (2)}

                   và $\frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ c^{2                    (3)}

^(1)(2)(3) $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ a² + b² + c²

               $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a}+ \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$$\geqslant$ 1

            $\Rightarrow$ ta có đpcm

dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=1

[25 minutes]

a² + 1 $\geq$ 2a

$\Leftrightarrow$ 1 $\geqslant$ a² (2 - a ) 

Đoạn này cần xem lại nhé 

[megamanvui]

AM-GM 4 số

$\sqrt[4]{1-x^{2}} \leq \frac{1-x+1+x+1+1}{4} = 1$

$\sqrt[4]{1+x} \leq \frac{1+x+1+1+1}{4} = 1+1/x$

$\sqrt[4]{1-x} \leq \frac{1-x+1+1+1}{4} = 1-1/x$

$VT <= 3$

$=> s={0}$

[THYH]

áp dụng BĐT Cô-sy

a² + 1 $\geq$ 2a

$\Leftrightarrow$ 1 $\geqslant$ a² (2 - a ) 

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2-a}$ $\geqslant$ a^{2              (1)}

tương tự áp dụng bất đẳng thức Cô-sy với 2 số

$\Rightarrow$ $\frac{1}{2-b}$ $\geqslant$ b^{2                    (2)}

                   và $\frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ c^{2                    (3)}

^(1)(2)(3) $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ a² + b² + c²

               $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a}+ \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$$\geqslant$ 1

            $\Rightarrow$ ta có đpcm

dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=1

chỗ bôi đỏ xót từ đó: $a^2+1\geq 2a\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}\geq a^{2}$

tương tự có:$\frac{b}{2-b}\geq b^{2}$, $\frac{c}{2-c}\geq c^{2}$

ta có đề $\Leftrightarrow \frac{2}{2-a}+\frac{2}{2-b}+\frac{2}{2-c}\geq 6$

 

$\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\geq 3$

+ 3 cái trên lại dễ dang c.m đc.....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi THYH: 13-08-2013 - 22:45

[germany3979]

Bạn ơi 2-a chắc là dương chưa???

[mathandyou]

Bạn ơi 2-a chắc là dương chưa???

$\sqrt{3} > a$

[germany3979]

Tại sao $a< \sqrt{3}$ vậy bạn ơi???

[khanv]

Bài 3: Cho a,b,c>0 t/m: a² +b² +c² =3. Tìm Min P=2(a+b+c)+(1a+1b+1c)P=2(a+b+c)+(1a+1b+1c). mọi người cho hỏi bài này với