Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:
$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathandyou: 09-08-2013 - 22:26
Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:
$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$
Lời giải. Ta có $\frac{1}{2-a} \ge \frac{a^2+1}{2} \Leftrightarrow a(a-1)^2 \ge 0$, đúng.
Tượng tự và cộng lại ta có đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
ta có $\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^{2}+1}{2}$ đoạn này mình không biết chứng minh nên tự túc nhé
Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:
$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$
BĐT đã cho tương đương với
$$ \frac{2}{2-a} + \frac{2}{2-b} + \frac{2}{2-c} \geq 6 $$
$$ \Leftrightarrow 1 + \frac{a}{2-a} + 1 + \frac{b}{2-b} + 1 + \frac{c}{2-c} \geq 6 $$
$$ \frac{a}{2-a} + \frac{b}{2-b} + \frac{c}{2-c} \geq 3 $$
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz
$$ \frac{a}{2-a} + \frac{b}{2-b} + \frac{c}{2-c} = \frac{a^2}{2a-a^2} + \frac{b^2}{2b-b^2} + \frac{c^2}{2c-c^2} \geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{2a-a^2+2b-b^2+2c-c^2} = \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{2\left ( a+b+c \right )-3} $$
Đặt $t=a+b+c$. Theo giả thiết kết hợp với BĐT Cauchy - Schwarz thì
$$ 3 = a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{3} \Rightarrow \left ( a+b+c \right )^2 = t^2 \leq 9 $$
Do đk $a,b,c>0$ nên ta được $0<t \leq 3$
Xét hàm số
$f(t) = \frac{t^2}{2t-3}$ với $t \in (0,3])$
có $f'(t) = \frac{2t^2-6t}{(2t-3)^2} \leq 0 \forall t \in (0,3]$
suy ra $f$ là hàm nghịch biến trên $(0,3]$
vậy $f(t) \geq f(3) = 3$.
Từ đây ta có đpcm
Lưu ý là ta ko đc quyền đánh giá
$$ \frac{t^2}{2t-3} \geq 3 $$
$$ \Leftrightarrow t^2 - 6t + 9 \geq 0 $$
$$ \Leftrightarrow (t-3)^2 \geq 0 $$
vì ta ko chắc $2t-3 \geq 0$ (ta chỉ có đc $0<t\leq3$)
"The Universe appears to be flawed.
If things exist because they ought to,
why are they not much better than they are?"
áp dụng BĐT Cô-sy
a2 + 1 $\geq$ 2a
$\Leftrightarrow$ 1 $\geqslant$ a2 (2 - a )
$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2-a}$ $\geqslant$ a2 (1)
tương tự áp dụng bất đẳng thức Cô-sy với 2 số
$\Rightarrow$ $\frac{1}{2-b}$ $\geqslant$ b2 (2)
và $\frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ c2 (3)
(1)(2)(3) $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ a2 + b2 + c2
$\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a}+ \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$$\geqslant$ 1
$\Rightarrow$ ta có đpcm
dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=1
AM-GM 4 số
$\sqrt[4]{1-x^{2}} \leq \frac{1-x+1+x+1+1}{4} = 1$
$\sqrt[4]{1+x} \leq \frac{1+x+1+1+1}{4} = 1+1/x$
$\sqrt[4]{1-x} \leq \frac{1-x+1+1+1}{4} = 1-1/x$
$VT <= 3$
$=> s={0}$
áp dụng BĐT Cô-sy
a2 + 1 $\geq$ 2a
$\Leftrightarrow$ 1 $\geqslant$ a2 (2 - a )
$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2-a}$ $\geqslant$ a2 (1)
tương tự áp dụng bất đẳng thức Cô-sy với 2 số
$\Rightarrow$ $\frac{1}{2-b}$ $\geqslant$ b2 (2)
và $\frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ c2 (3)
(1)(2)(3) $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ a2 + b2 + c2
$\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a}+ \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$$\geqslant$ 1
$\Rightarrow$ ta có đpcm
dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=1
chỗ bôi đỏ xót từ đó: $a^2+1\geq 2a\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}\geq a^{2}$
tương tự có:$\frac{b}{2-b}\geq b^{2}$, $\frac{c}{2-c}\geq c^{2}$
ta có đề $\Leftrightarrow \frac{2}{2-a}+\frac{2}{2-b}+\frac{2}{2-c}\geq 6$
$\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\geq 3$
+ 3 cái trên lại dễ dang c.m đc.....
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi THYH: 13-08-2013 - 22:45
''math + science = success''
TVT
Bạn ơi 2-a chắc là dương chưa???
Bạn ơi 2-a chắc là dương chưa???
$\sqrt{3} > a$
ĐƯỜNG TƯƠNG LAI GẶP NHIỀU GIAN KHÓ..
Tại sao $a< \sqrt{3}$ vậy bạn ơi???
Bài 3: Cho a,b,c>0 t/m: a2 +b2 +c2 =3. Tìm Min P=2(a+b+c)+(1a+1b+1c)P=2(a+b+c)+(1a+1b+1c). mọi người cho hỏi bài này với
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh