Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh luôn tồn tại một tam giác đều có trung tuyến đi qua các đỉnh tam giác $ABC$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4261 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 10-08-2013 - 16:45

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh luôn tồn tại một tam giác đều có các trung tuyến đi qua các đỉnh tam giác $ABC$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1958 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 29-07-2017 - 11:22

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh luôn tồn tại một tam giác đều có các trung tuyến đi qua các đỉnh tam giác $ABC$.

1) Phân tích :

    Giả sử đã dựng được tam giác đều $MNP$ có trọng tâm $O$ và có các trung tuyến $MM',NN',PP'$ lần lượt đi qua $A,B,C$. Có thể xảy ra 2 trường hợp sau :

    a) Ba góc $\measuredangle AOB,\measuredangle BOC,\measuredangle COA$ bằng nhau và bằng $120^o$

    b) Điểm $O$ nhìn cạnh dài nhất dưới góc $120^o$, nhìn 2 cạnh kia dưới góc $60^o$

        Ví dụ nếu cạnh $AB$ dài nhất thì $\measuredangle AOB=120^o,\measuredangle BOC=\measuredangle COA=60^o$

    Từ đó suy ra cách dựng sau.

2) Cách dựng : (Ta giả sử $AB$ là cạnh dài nhất)

    - Bước 1 : Dựng cung chứa góc $120^o$ trên đoạn $AB$ (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung cùng phía với $C$ đối với đường thẳng $AB$)

    - Bước 2 : Xác định trọng tâm $O$ của tam giác $MNP$. Có $3$ trường hợp :

      a) Nếu $C$ nằm trên cung $AB$ đã dựng thì $O$ trùng với $C$.

      b) Nếu $C$ nằm ngoài phần mặt phẳng giới hạn bởi cạnh $AB$ và cung $AB$ thì dựng cung chứa góc $120^o$ trên đoạn $BC$ (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung nào cùng phía với $A$ đối với đường thẳng $BC$).Giao điểm khác $B$ của cung này với cung $AB$ chính là điểm $O$

      c) Nếu $C$ nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi cạnh $AB$ và cung $AB$ thì dựng cung chứa góc $60^o$ trên đoạn $BC$ (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung nào khác phía với $A$ đối với đường thẳng $BC$).Giao điểm khác $B$ của cung này với cung $AB$ chính là điểm $O$

    - Bước 3 : Trên các đường thẳng $OA,OB,OC$ lần lượt chọn các tia $Ot,Ou,Ov$ sao cho $\measuredangle tOu=\measuredangle uOv=\measuredangle vOt=120^o$

    - Bước 4 : Trên các tia $Ot,Ou,Ov$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $OM=ON=OP=d$ ($d$ là số thực dương tùy ý). Tam giác $MNP$ là tam giác đều có các trung tuyến đi qua $A,B,C$

3) Chứng minh :

    Theo cách dựng, dễ dàng chứng minh tam giác $MNP$ là tam giác đều có các trung tuyến đi qua $A,B,C$.

4) Biện luận :

    Vì số $d$ có thể chọn tùy ý nên có vô số tam giác đều (có cùng trọng tâm $O$) thỏa mãn điều kiện đề bài.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 29-07-2017 - 17:54

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 10:16

1) Phân tích :
 
    Giả sử đã dựng được tam giác đều 
M
N
P
 có trọng tâm 
O
 và có các trung tuyến 
M
M
,
N
N
,
P
P
 lần lượt đi qua 
A
,
B
,
C
. Có thể xảy ra 2 trường hợp sau :
 
    a) Ba góc 
A
O
B
,
B
O
C
,
C
O
A
 bằng nhau và bằng 
120
o
    b) Điểm 
O
 nhìn cạnh dài nhất dưới góc 
120
o
, nhìn 2 cạnh kia dưới góc 
60
o
        Ví dụ nếu cạnh 
A
B
 dài nhất thì 
A
O
B
=
120
o
,
B
O
C
=
C
O
A
=
60
o
    Từ đó suy ra cách dựng sau.
 
2) Cách dựng : (Ta giả sử 
A
B
 là cạnh dài nhất)
 
    - Bước 1 : Dựng cung chứa góc 
120
o
 trên đoạn 
A
B
 (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung cùng phía với 
C
 đối với đường thẳng 
A
B
)
 
    - Bước 2 : Xác định trọng tâm 
O
 của tam giác 
M
N
P
. Có 
3
 trường hợp :
 
      a) Nếu 
C
 nằm trên cung 
A
B
 đã dựng thì 
O
 trùng với 
C
.
 
      b) Nếu 
C
 nằm ngoài phần mặt phẳng giới hạn bởi cạnh 
A
B
 và cung 
A
B
 thì dựng cung chứa góc 
120
o
 trên đoạn 
B
C
 (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung nào cùng phía với 
A
 đối với đường thẳng 
B
C
).Giao điểm khác 
B
 của cung này với cung 
A
B
 chính là điểm 
O
      c) Nếu 
C
 nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi cạnh 
A
B
 và cung 
A
B
 thì dựng cung chứa góc 
60
o
 trên đoạn 
B
C
 (có 2 cung như vậy, ta chỉ cần dựng cung nào khác phía với 
A
 đối với đường thẳng 
B
C
).Giao điểm khác 
B
 của cung này với cung 
A
B
 chính là điểm 
O
    - Bước 3 : Trên các đường thẳng 
O
A
,
O
B
,
O
C
 lần lượt chọn các tia 
O
t
,
O
u
,
O
v
 sao cho 
t
O
u
=
u
O
v
=
v
O
t
=
120
o
    - Bước 4 : Trên các tia 
O
t
,
O
u
,
O
v
 lần lượt lấy các điểm 
M
,
N
,
P
 sao cho 
O
M
=
O
N
=
O
P
=
d
 (
d
 là số thực dương tùy ý). Tam giác 
M
N
P
 là tam giác đều có các trung tuyến đi qua 
A
,
B
,
C
3) Chứng minh :
 
    Theo cách dựng, dễ dàng chứng minh tam giác 
M
N
P
 là tam giác đều có các trung tuyến đi qua 
A
,
B
,
C
.
 
4) Biện luận :
 
    Vì số 
d
 có thể chọn tùy ý nên có vô số tam giác đều (có cùng trọng tâm 
O
) thỏa mãn điều kiện đề bài.

 

 




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh