2 replies to this topic

[diepviennhi]

Giải phương trình lượng giác:

$\sqrt{sinx}+sinx+sin^{2}x+cosx=1$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

ĐK: $\sin{x} \geq 0$

Phương trình ban đầu tương đương:

$\sqrt{\sin{x}} + \sin{x} + \cos{x} - (1 - \sin^2{x}) = 0$

 

$\Leftrightarrow (\sqrt{\sin{x}} + \cos{x}) + (\sin{x} - \cos^2{x}) = 0$

 

$\Leftrightarrow (\sqrt{\sin{x}} + \cos{x})(\sqrt{\sin{x}} - \cos{x} + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\sqrt{\sin{x}} = -\cos{x} \, (1)\\\sqrt{\sin{x}} = \cos{x} - 1 \, (2)\end{matrix}\right.$

 

- Giải (1): 

Ta có: $(1) \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\sin{x} \geq 0\\\cos{x} \leq 0\\\sin{x} = \cos^2{x}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\sin{x} \geq 0\\\cos{x} \leq 0\\\sin^2{x} + \sin{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin{x} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow x = \pi - \arcsin{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}} + k2\pi \, (k \in Z)$

 

- Giải (2): 

Nhận thấy: $\cos{x} \leq 1 \Rightarrow \sin{x} \geq 0 \geq \cos{x} - 1$

Vậy: $(2) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sin{x} = 0\\\cos{x} = 1\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = k2\pi \, (k \in Z)$

[darkevil]

đk sinx$\geq$0 <=> $x\in [k2\pi ;\pi +k2\pi]$

fg.t tương đương ($\sqrt{sinx}$+cosx)+(sinx-$cos^{2}x$)=0<=>$(\sqrt{sinx}+cosx)+(\sqrt{sinx}-cosx)(\sqrt{sinx}+cosx)=0$ 

<=>$(\sqrt{sinx}+cosx)(\sqrt{sinx}-cosx+1)=0

th1...