Chủ đề này có 12 trả lời

[Pie66336]

Chứng minh: 

 

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0

 

[letankhang]

Chứng minh: 

 

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0

Đặt :

$A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y};B=\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{x}{x+y};C=\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}+\frac{y}{x+y}$

Ta có :

$B+C=3$

Áp dụng BĐT Cauchy:

$A+B=\frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{z+x}+\frac{z+x}{x+y}\geq 3; A+C=\frac{x+z}{y+z}+\frac{y+x}{z+x}+\frac{z+y}{x+y}\geq 3$

$\Rightarrow 2A+B+C\geq 6\Rightarrow 2A\geq 3\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$ $(đpcm)$

[hoctrocuanewton]

ta có $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{ x+ z}+\frac{z}{x+y}= \frac{ x^{2}}{xy+xz}+\frac{y^{2}}{xy+yz}+\frac{z^{2}}{xz+yz}\geqslant \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+xz)}$

mà $xy+yz+xz\leqslant \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$

vậy được đpcm

[pham thuan thanh]

bđt nesbit

[hieuvipntp]

hê nesbit

bài này nhẹ nhứt nên chém tạm vậy

dĩ nhiên$\large (x+y+x+z+y+z)(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z})\geq 9 \Leftrightarrow (x+y+z)(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z})\geq 4.5\Leftrightarrow \frac{x}{y+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{y}{x+z}+3\geq 4.5\Leftrightarrow Q.E.D$

[andymurray44]

C1:

Đặt y+z=a,x+z=b,x+y=c suy ra $x=\frac{b+c-a}{2},y=\frac{a+c-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2}\Rightarrow \sum \frac{x}{y+z}=\frac{1}{2}\sum \frac{b}{a}+\frac{c}{a}-1\geq \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$

 

C2:

$\sum \frac{x}{y+z}=\sum \frac{x+y+z}{y+z}-3=(x+y+z)(\sum \frac{1}{y+z})-3\geq (x+y+z)(\frac{9}{2(x+y+z)})-3= \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$

[Vo Sy Nguyen]

Chứng minh: 

 

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0

 

Cách 1

 

Đặt y+z=a; z+x=b; x+y=c ($a,b,c\geq 0$) thì

$\Rightarrow x+y+z=\frac{a+b+c}{2}$

$\Rightarrow x=\frac{b+c-a}{2};y=\frac{c+a-b}{2};z= \frac{a+b-c}{2}$

Do đó,

$VT=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{b+c-a}{2a}+ \frac{c+a-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c} =\frac{1}{2}\left (\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \right )+\frac{1}{2}\left (\frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+\frac{1}{2}\left (\frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right ) - \frac{3}{2}\geq 1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Cách 2

 

VÌ vai trò của a,b,c là như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử:

$x\geq y\geq z$$\Rightarrow x+y\geq x+z\geq y+z\Rightarrow \frac{1}{y+z}\geq \frac{1}{z+x}\geq \frac{1}{x+y}$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{y+z}\geq \sum \frac{y}{y+z}$

 Và $\sum \frac{x}{y+z}\geq \sum \frac{z}{y+z}$

Cộng vế theo vế , ta có

$2\left ( \sum \frac{x}{y+z} \right )\geq \sum \frac{y+z}{y+z}=3\Rightarrow \sum \frac{x}{y+z}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vo Sy Ngueyn: 11-08-2013 - 14:18

[Supermath98]

Chứng minh: 

 

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0

Và đây là một cách 

File gửi kèm

•  45 cach chung minh BDT Nesbitt.pdf   202.37K   126 Số lần tải

[laiducthang98]

Áp dụng BĐT  $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 9$ ta có $(a+b+b+c+c+a)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq 9$ 

<=> $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9}{2}$

Sau đó nhân tung hết ra ta đc đfcm 

[Pie66336]

ta có $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{ x+ z}+\frac{z}{x+y}= \frac{ x^{2}}{xy+xz}+\frac{y^{2}}{xy+yz}+\frac{z^{2}}{xz+yz}\geqslant \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+xz)}$

mà $xy+yz+xz\leqslant \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$

vậy được đpcm

chỗ màu xanh đấy, tại sao thế?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pie66336: 21-08-2013 - 16:47

[hoctrocuanewton]

chỗ màu xanh đấy, tại sao thế?

 chỗ đó áp dụng bđt schwars

 Và  đây là bđt đó 

với  b1,b2,...bn $> 0$ ta có 

 

$\frac{a1^{2}}{b1}+\frac{a2^{2}}{b2}+.....\frac{an^{2}}{bn}\geqslant \frac{(a1+a2+.....+an)^{2}}{b1+b2+....+bn}$

 

dấu bằng xảy ra khi $\frac{a1^{2}}{b1^{2}}=\frac{a2^{2}}{b2^{2}}=.....=\frac{an^{2}}{bn}$

p/s: 1,2,....n là số thứ tự không phải nhân đâu nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 21-08-2013 - 19:30

[buiminhhieu]

cộng 1 vào mỗi số rôi dung bunhia

[KietLW9]

Chứng minh: 

 

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$ với x,y,z>0

Đặt $f(a,b,c)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ và $t=\frac{a+b}{2}$

Ta có: $f(a,b,c)-f(t,t,c)=(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})-(\frac{2(a+b)}{a+b+2c}+\frac{c}{a+b})=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}-\frac{2(a+b)}{a+b+2c}=\frac{a(c+a)(a+b+2c)+b(b+c)(a+b+2c)-2(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+c)(b+c)(a+b+2c)}=\frac{(a-b)^2(a+b+c)}{(a+c)(b+c)(a+b+2c)}\geqslant 0\Rightarrow f(a,b,c)\geqslant f(t,t,c)$

Ta quy về chứng minh $f(t,t,c)\geqslant \frac{3}{2}$

Thật vậy, ta có: $f(t,t,c)-\frac{3}{2}=\frac{2t}{c+t}+\frac{c}{2t}-\frac{3}{2}=\frac{(t-c)^2}{2t(t+c)}\geqslant 0$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$