Đến nội dung

Hình ảnh

$\large \sum \frac{a}{\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{9}{4\left ( a+b+c \right )}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết

Cho các số thực dương a;b;c. CMR: 

$\large \sum \frac{a}{\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{9}{4\left ( a+b+c \right )}$


:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:

#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho các số thực dương a;b;c. CMR: 

$\large \sum \frac{a}{\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{9}{4\left ( a+b+c \right )}$

BDT $\Leftrightarrow \sum \frac{a(a+b+c)}{(b+c)^2}\geqslant \frac{9}{4}$

Xét $\sum \frac{a(a+b+c)}{(b+c)^2}=\sum \frac{a^2}{(b+c)^2}+\sum \frac{a}{b+c}$

Rõ ràng trên là $1$ bất đẳng suy ra từ $2$ bất đẳng thức quen thuộc sau 

             $\sum \frac{a^2}{(b+c)^2}\geqslant \frac{3}{4}$

             $\sum \frac{a}{b+c}\geqslant \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 12-08-2013 - 12:33

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cách 2 :

 Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có giả sử $a \geqslant b \geqslant c >0$

     $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\geqslant b\geqslant c\\ \frac{1}{(b+c)^2}\geqslant \frac{1}{(c+a)^2}\geqslant \frac{1}{(a+b)^2}         \end{matrix}\right.$

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có 

          $P\geqslant \frac{a+b+c}{3}\left [ \frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{1}{(a+b)^2} \right ]$

Sử dụng bất đẳng thức Ỉran TST 96 ta có

          $P\geqslant \frac{a+b+c}{3}.\frac{9}{4(ab+bc+ca)}=\frac{3(a+b+c)}{4(ab+bc+ca)}$

Áp dụng AM-GM ta có $ab+bc+ca\leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}$

       $\Rightarrow P\geqslant \frac{3(a+b+c)}{4(ab+bc+ca)}\geqslant \frac{3(a+b+c)}{4.\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{9}{4(a+b+c)}$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#4
nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết

Cho các số thực dương a;b;c. CMR: 

$\large \sum \frac{a}{\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{9}{4\left ( a+b+c \right )}$

$\sum \frac{a\left ( a+b+c \right )}{\left ( b+c \right )^{2}}= \sum \frac{a^{2}}{\left ( b+c \right )^{2}}+\sum \frac{1}{b+c}$

đến đây thì dễ rồi

bài này có trong quyển Những viên kim cương tronh bất đẳng thức toán học mình mới đọc bài này hôm trước



#5
Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:

$(a+b+c)\left(\dfrac{a}{(b+c)^2}+\dfrac{b}{(c+a)^2}+\dfrac{c}{(a+b)^2}\right)\ge \left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2$

Mà $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh$.\square$

 


Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#6
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Áp dụng Cô-si, ta có: $$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2=\frac{1}{2}.2a(b+c)(b+c)+\frac{1}{2}.2b(c+a)(c+a)+\frac{1}{2}.2c(a+b)(a+b)\leqslant\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+ \frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}=\frac{4}{9}(a+b+c)^3$$

$\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2}= \sum_{cyc}\frac{a^2}{a(b+c)^2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}a(b+c)^2} \geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{9}(a+b+c)^3} =\frac{9}{4(a+b+c)}$

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c $


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh