Chủ đề này có 5 trả lời

[kimthoa]

Nhờ mọi người giải giúp mình hệ phương trình này cái:

$\left\{\begin{matrix} (x+y+1)xy=x^{2}+y^{2} & \\ (x^{3}+y^{3})xy-y^{2}=4xy^{2}(4x^{3}y^{2}+x-1) & \end{matrix}\right.$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 15-08-2013 - 16:14

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Hệ phương trình ban đầu tương đương: 

$\left\{\begin{matrix}(x + y)xy = x^2 + y^2 - xy\\xy(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 16x^4y^4 + (2xy - y)^2\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x + y)xy = x^2 + y^2 - xy\\x^2y^2(x + y)^2 = 16x^4y^4 + (2xy - y)^2\end{matrix}\right. \, (\star)$

 

- Nếu $xy = 0 \Rightarrow x = y = 0$ là một cặp nghiệm của phương trình.

 

- Nếu $xy \neq 0$, ta có: $(\star) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}xy(x + y + 3) = (x + y)^2\\(x + y)^2 = 16x^2y^2 + (2 - \dfrac{1}{x})^2\end{matrix}\right. $

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}xy= \dfrac{(x + y)^2}{x + y + 3} \, (1)\\(x + y)^2 = 16x^2y^2 + (2 - \dfrac{1}{x})^2 \, (2)\end{matrix}\right. $

 

Từ (2), ta có: $(x + y)^2 \geq 16x^2y^2 = 16\dfrac{(x + y)^4}{(x + y + 3)^2} \, (3)$

Do $xy \neq 0 \Rightarrow x + y \neq 0$. 

Vì vậy: (3) $\Leftrightarrow (x + y + 3)^2 \geq 16(x + y)^2 \Leftrightarrow \dfrac{-3}{5} \leq x + y \leq 1 \Rightarrow xy > 0$

 

 

Ta thấy, từ phương trình thứ nhất của hệ ban đầu:

$xy(x + y + 1) = x^2 + y^2 \geq 2xy \Leftrightarrow x + y + 1 \geq 2 \Leftrightarrow x + y \geq 1$

 

Do đó: $x + y = 1 \Rightarrow xy = \dfrac{1}{4} \Rightarrow x = y = \dfrac{1}{2}$

 

Thử lại thấy các cặp giá trị vừa tìm thỏa mãn. Kết luận: Hệ ban đầu có hai cặp nghiệm:  

(x; y) = {(0; 0); ($\dfrac{1}{2}$; $\dfrac{1}{2}$)}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 15-08-2013 - 14:43

[noavata]

Việc phát hiện ra để sử dụng đánh giá quả là một công việc khó khăn. bạn giải rất hay

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi noavata: 15-08-2013 - 17:59

[hungnp]

Giải

...

Do $xy \neq 0 \Rightarrow x + y \neq 0$. 

Vì vậy: (3) $\Leftrightarrow (x + y + 3)^2 \geq 16(x + y)^2 \Leftrightarrow \dfrac{-3}{5} \leq x + y \leq 1 \Rightarrow xy > 0$

...

Đoạn này chưa chính xác đâu?

Tại sao $xy \neq 0$ lại suy ra được $x+y\neq 0$

Tại sao  $\dfrac{-3}{5} \leq x + y \leq 1$ lại  suy ra được $xy>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungnp: 15-08-2013 - 22:48

[noavata]

Đoạn này chưa chính xác đâu?

Tại sao $xy \neq 0$ lại suy ra được $x+y\neq 0$

Tại sao  $\dfrac{-3}{5} \leq x + y \leq 1$ lại  suy ra được $xy>0$

Bạn phải kết hợp với hệ thì mới có kết quả trên

[Phạm Hữu Bảo Chung]

@Hungup:
Hì!

Vì $xy = \dfrac{(x + y)^2}{x + y + 3}$ nên nếu $xy \neq 0 \Rightarrow x + y \neq 0$

 

Vì $\dfrac{-3}{5} \leq x + y \leq 1 \Rightarrow x + y + 3 > 0 \Rightarrow xy = \dfrac{(x + y)^2}{x + y + 3} > 0$