Gỉa sử rằng trên mặt phẳng toạ độ cho đường cong là đồ thị của hàm số đa thức: $P(x)=x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx+s,P\in \mathbb{R}[x]$.
Một đường thẳng trên mặt phẳng ấy gọi là nằm ngang nếu nó song song với trục hoành và cắt đường cong tại 4 điểm A, B, C, D (tính từ trái sang phải).Ngoài ra nếu độ dài các đoạn thẳng AB, AC, AD có thể lấy làm độ dài các cạnh của một tam giác nào đó, thì đường thẳng như vậy còn được gọi là "đường tam giác". Chứng minh rằng chỉ có thể xảy ra trường hợp hoặc tất cả các đường thẳng nằm ngang là "đường tam giác", hoặc tất cả các đường thẳng ấy không là "đường tam giác".
Gọi đồ thị hàm $P(x)$ đã cho là đường cong $(C_1)$
Gọi $(d_1):y=t$ là đường thẳng nằm ngang cắt $(C_1)$ tại 4 điểm phân biệt $A,B,C,D$
Ta lấy điểm $I\left ( -\frac{p}{4};0 \right )$ và lập hệ trục tọa độ mới $Iuv$ sao cho các tia $Iu$ và $Iv$ lần lượt cùng phương, cùng chiều với các tia $Ox$ và $Oy$.Suy ra $v=y$ và $u=x+\frac{p}{4}$
Trong hệ tọa độ $Iuv$, ta có (sau một số phép biến đổi đơn giản) :
$(C_1):v=u^4+\left ( q-\frac{3}{8}p^2 \right )u^2+\left ( r+\frac{p^3}{8}-\frac{pq}{2} \right )u+\left ( s-\frac{3}{256}p^4+\frac{p^2q}{16}-\frac{pr}{4} \right )$
$(d_1):v=t$
(Từ đây trở xuống ta chỉ sử dụng hệ tọa độ mới $Iuv$ cho tiện.Lưu ý : $u$ là hoành độ, $v$ là tung độ)
Phương trình hoành độ giao điểm của $(d_1)$ và $(C_1)$ :
$u^4+\left ( q-\frac{3}{8}p^2 \right )u^2+\left ( r+\frac{p^3}{8}-\frac{pq}{2} \right )u+\left ( s-\frac{3}{256}p^4+\frac{p^2q}{16}-\frac{pr}{4} \right )=t$
$\Leftrightarrow u^4+\left ( q-\frac{3}{8}p^2 \right )u^2=\left ( \frac{pq}{2}-\frac{p^3}{8}-r \right )u+\left ( t-s+\frac{3}{256}p^4-\frac{p^2q}{16}+\frac{pr}{4} \right )$
Đặt $q-\frac{3}{8}p^2=P$ ; $\frac{pq}{2}-\frac{p^3}{8}-r=Q$ ; $t-s+\frac{3}{256}p^4-\frac{p^2q}{16}+\frac{pr}{4}=R$, ta có :
$u^4+Pu^2=Qu+R$
Đây cũng là phương trình hoành độ giao điểm của đường cong $(C_2):v=u^4+Pu^2$ với đường thẳng $(d_2):v=Qu+R$
Gọi 4 giao điểm của $(C_2)$ và $(d_2)$ từ trái sang phải là $K,L,M,N$ ta có $u_K=u_A$ ; $u_L=u_B$ ; $u_M=u_C$ ; $u_N=u_D$
Xét đường cong $(C_2):v=u^4+Pu^2$.Đây là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương nhận $Iv$ làm trục đối xứng, có dạng chữ $W$.Đồ thị này có 2 điểm cực tiểu là $E$ và $F$ ($u_E< u_F$) và 1 điểm cực đại là $I$.Ta gọi đoạn đường cong từ $E$ đến $I$ là đoạn cong $EI$, từ $I$ đến $F$ là đoạn cong $IF$.Hai phần còn lại gọi là nhánh trái và nhánh phải.
Ta cần chứng minh rằng khi $p,q,r$ đã được xác định thì với mọi giá trị của $t$ sao cho $(d_1)$ cắt $(C_1)$ tại 4 điểm phân biệt $A,B,C,D$ (cũng tức là $(d_2)$ cắt $(C_2)$ tại 4 điểm phân biệt) ta có độ dài $AB,AC,AD$ lập thành 3 cạnh của tam giác hoặc không lập thành 3 cạnh của tam giác.
Nhận xét rằng khi $p,q,r$ đã xác định thì $Q$ cũng xác định.Xét các trường hợp :
1) $Q> 0$ (hàm $Qu+R$ đồng biến hay $v_K<v_L<v_M<v_N$)
Dễ thấy khi đó $L$ phải thuộc đoạn cong $EI$.Gọi $J$ là điểm thuộc nhánh trái sao cho $v_J=v_L$.Gọi $L',K',J'$ là các điểm thuộc $(C_2)$ đối xứng với $L,K,J$ qua $Iv$
Ta có $u_J<u_K<u_L\Rightarrow u_{L'}<u_{K'}<u_{J'}$.Mà $v_{J'}=v_L<v_N\Rightarrow u_{J'}<u_N$ (vì nhánh phải "đồng biến").Do đó $u_{K'}<u_N$ (1)
+ Nếu $M$ thuộc đoạn cong $EI$ (kể cả điểm $I$) ta có $u_M\leqslant 0<u_{L'}$
+ Nếu $M$ thuộc đoạn cong $IF$ ta có $v_{L'}<v_M\Rightarrow u_M<u_{L'}$ (vì đoạn cong $IF$ "nghịch biến")
Vậy dù $M$ ở đâu, ta luôn có $u_M<u_{L'}$ (2)
(1),(2) $\Rightarrow u_N-u_M>u_{K'}-u_{L'}=u_L-u_K$ hay $u_D-u_C>u_B-u_A$
Điều đó có nghĩa là $AD-AC>AB$.Nói cách khác $AB,AC,AD$ không phải là độ dài 3 cạnh tam giác.
2) $Q=0$ ($v_K=v_L=v_M=v_N$)
Do tính đối xứng trục, ta có $u_N-u_M=u_L-u_K$ hay $u_D-u_C=u_B-u_A$
Suy ra $AD-AC=AB$, tức là $AB,AC,AD$ không phải là độ dài 3 cạnh tam giác.
3) $Q<0$ (hàm $Qu+R$ nghịch biến hay $v_K>v_L>v_M>v_N$)
Khi đó $M$ phải thuộc đoạn cong $IF$.Gọi $H$ là điểm thuộc nhánh phải sao cho $v_H=v_M$
Ta có $u_M<u_N<u_H$.Mà $v_H=v_M<v_K=v_{K'}\Rightarrow u_H<u_{K'}$ (vì nhánh phải "đồng biến").Do đó $u_N<u_{K'}$ (3)
+ Nếu $L$ thuộc đoạn cong $IF$ (kể cả điểm $I$) ta có $u_M> 0\geqslant u_{L'}$
+ Nếu $L$ thuộc đoạn cong $EI$ ta có $v_{L'}=v_L>v_M\Rightarrow u_M>u_{L'}$ (vì đoạn cong $IF$ "nghịch biến")
Vậy dù $L$ ở đâu, ta luôn có $u_M>u_{L'}$ (4)
(3),(4) $\Rightarrow u_N-u_M<u_{K'}-u_{L'}=u_L-u_K$ hay $u_D-u_C<u_B-u_A$
Điều đó có nghĩa là $AD-AC<AB$.Nói cách khác $AB,AC,AD$ có thể là độ dài 3 cạnh tam giác.
Tóm lại :
- Nếu $Q=\frac{pq}{2}-\frac{p^3}{8}-r\geqslant 0$ thì $AB,AC,AD$ không thể là độ dài 3 cạnh tam giác.
- Nếu $Q=\frac{pq}{2}-\frac{p^3}{8}-r< 0$ thì $AB,AC,AD$ có thể là độ dài 3 cạnh tam giác.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 17-10-2016 - 15:18
