2 replies to this topic

[funcalys]

Chứng minh mọi nhóm con chuẩn tắc H cấp $p$ của nhóm G có cấp $p^2$ ($p\in \mathbb{P}$) đều nằm trong tâm của G.

[sptb]

Chứng minh mọi nhóm con chuẩn tắc H cấp $p$ của nhóm G có cấp $p^2$ ($p\in \mathbb{P}$) đều nằm trong tâm của G.

Đầu tiên bạn chứng minh mọi nhóm cấp $p^2$ là nhóm aben từ đó suy ra $G=Z(G)$ mà $H\subset G$ nên $H\subset Z(G)$

[fghost]

Các lớp liên hợp của các phần tử của H chỉ bao gồm những phần tử của H vì H chuẩn tắc. Mà mọi lớp liên hợp có số lượng phần tử bằng chỉ số của nhóm con chuẩn hóa $C_G(a)$ trong $G$, nên chia hết cho $|G|=p^2$, nên chỉ có thể là $1$ hoặc $p$. $1$ nằm trong 1 lớp liên hợp của chính nó, vì vậy những lớp liên hợp còn lại sẽ phải có độ dài bằng $1$. Do đó, mỗi phần tử của $H$ giao hoán với mọi phần tử khác của $G$, $H \subset Z(G).$

Edited by fghost, 06-09-2013 - 07:52.