Chủ đề này có 2 trả lời

[bachhammer]

Cho đường tròn (O;13) và hai dây cung AB, CD cố định ko cắt nhau. Xét điểm I trên đoạn CD. Cho AI, BI cắt (O) tại E, F. AF, BE cắt CD tại M, N. BIết ID = 10, IN = 6 và $3CM^{2}+5CM=MI^{2}$. Tính độ dài dây CD.

[lekhangminh31]

[hozymary]

Ta có một bổ đề quen thuộc, mở rộng của định lý con bướm: cho đường tròn $(O)$ có điểm $I$ nằm trên dây $AB$ và hai dây $CD, EF$ đi qua $I$ ($C, E$ nằm trên cung nhỏ $AB$). Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm $CF, DE$ với $AB$ thì ta có $\frac{1}{IA}+\frac{1}{IN}=\frac{1}{IB}+\frac{1}{IM}$

Áp dụng bổ đề ta có $\frac{1}{IC}+\frac{1}{IN}=\frac{1}{ID}+\frac{1}{IM}$

$\Rightarrow \frac{1}{MI}-\frac{1}{CM+MI}=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}\\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{MI}-\dfrac{1}{CM+MI}=\dfrac{1}{15}\\ 3CM^2+5CM=MI^2 \end{matrix}\right.$

Giải hệ trên cho ta $MI =\frac{-25+5\sqrt{73}}{4}, CM=\frac{65-5\sqrt{73}}{12}$. Như vậy độ dài cung $CD$ là $CM+MI+ID=\frac{55+5\sqrt{73}}{6}$.

Chắc đề sai số, với cả dữ kiện bán kính đường tròn là $13$ cũng không dùng tới.

Chứng minh bổ đề

Ta sẽ chứng minh $AM\cdot IB \cdot IN = BN \cdot IA \cdot IM$. Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

$\frac{AM}{IM}\frac{IB}{AB}=\frac{[CAM]}{[CIM]}\frac{[CIB]}{[CAB]}=\frac{\sin \widehat{ACM}}{\sin \widehat{ICM}}\frac{\sin \widehat{ICB}}{\sin \widehat{ACB}}\\ \frac{BN}{IN}\frac{IA}{AB}=\frac{[ENB]}{[ENI]}\frac{[EAI]}{[EAB]}=\frac{\sin \widehat{NEB}}{\sin \widehat{NEI}}\frac{\sin \widehat{AEI}}{\sin \widehat{AEB}}$

Với $[ABC]=AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}$ là diện tích tam giác $ABC$

Dễ thấy hai tỉ số cuối bằng nhau do các góc tương ứng bằng nhau. Như vậy ta có $\frac{AM}{IM}\frac{IB}{AB}=\frac{BN}{IN}\frac{IA}{AB}$

$\Rightarrow \frac{AM}{IA\cdot IM}=\frac{BN}{IB\cdot IN}\\ \Rightarrow \frac{1}{IA}+\frac{1}{IN}=\frac{1}{IB}+\frac{1}{IM}$