Chủ đề này có 1 trả lời

[goodloser13]

Giải phương trình $8x(x+\sqrt{x^{2}-3x+2})-1=12x+7(\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2})$

[hungnp]

Giải phương trình $8x(x+\sqrt{x^{2}-3x+2})-1=12x+7(\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2})$

Dễ thấy ĐK là $x\geq 2$.

Đặt $t=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}$. Vì đạo hàm $t'=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}+\frac{1}{2\sqrt{x-2}}>0$ với mọi$x>2$ nên $t$ là hàm số đồng biến trên $[2;+\infty)$. Vậy $t\geq 1$

 

Ta có $t^2=2x-3+2\sqrt{x^2-3x+2}\Rightarrow x+\sqrt{x^2-3x+2}=\frac{t^2+3}{2}$

Phương trình đề cho trở thành:

$$ 4x(t^2+3)-1=12x+7t\Leftrightarrow 4xt^2-7t-1=0\Leftrightarrow x=\frac{7t+1}{4t^2}=f(t)$$

Đạo hàm của $f(t)$ là: $f'(t)=\frac{-28t^2-8t}{16t^4}=\frac{-7t-2}{4t^3}<0$ với mọi $t\geq 1$. Do đó $\text{VP}=f(t)\leq f(1)=2$

Mà $\text{VT}=x\geq 2$

Vậy phương trình chỉ thoả khi $\text{VT}=\text{VP}=2\Leftrightarrow x=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungnp: 20-08-2013 - 22:31