Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
$\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2} + \frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2} + \frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}$ $\leq$ $\frac{a+b+c}{4}$
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
$\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2} + \frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2} + \frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}$ $\leq$ $\frac{a+b+c}{4}$
BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
$\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2} + \frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2} + \frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}$ $\leq$ $\frac{a+b+c}{4}$
Áp dụng BĐT $\large \frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$ ta có:
$\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{4}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}} \right )$
Tương tự với 2 cái kia.
Do đó ta có: $\large VT\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{ab^{2}+a^{2}c}{a^{2}+b^{2}} \right )=\frac{1}{4}A$
Ta lại có: $\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{2ab}=\frac{b}{2}$
$\large \frac{a^{2}c}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ac}{2b}$
Tương tự con lại
Do đó: $\large A\leq \frac{a+b+c}{2}+\frac{ac}{2b}+\frac{ab}{2c}+\frac{bc}{2a}= B$
Theo bài ra ta cần chứng minh: $\large B\leq a+b+c$ hay $\large \sum \frac{ac}{b}\leq a+b+c$ (1)
Mà (1) ở đây ngược nên có lẽ nào?????
Áp dụng BĐT $\large \frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$ ta có:
$\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{4}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}} \right )$
Tương tự với 2 cái kia.
Do đó ta có: $\large VT\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{ab^{2}+a^{2}c}{a^{2}+b^{2}} \right )=\frac{1}{4}A$
Ta lại có: $\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{2ab}=\frac{b}{2}$
$\large \frac{a^{2}c}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ac}{2b}$
Tương tự con lại
Do đó: $\large A\leq \frac{a+b+c}{2}+\frac{ac}{2b}+\frac{ab}{2c}+\frac{bc}{2a}= B$
Theo bài ra ta cần chứng minh: $\large B\leq a+b+c$ hay $\large \sum \frac{ac}{b}\leq a+b+c$ (1)
Mà (1) ở đây ngược nên có lẽ nào?????
Có lẽ là :
Thứ 1 là cách bạn không làm tiếp được nữa cần có hướng đi khác ( mình nghĩ vậy hoặc bạn bị sai chỗ nào đó ) @@
Thứ 2 là đề sai =='
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 20-08-2013 - 22:51
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
Áp dụng BĐT $\large \frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$ ta có:
$\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{4}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}} \right )$
Tương tự với 2 cái kia.
Do đó ta có: $\large VT\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{ab^{2}+a^{2}c}{a^{2}+b^{2}} \right )=\frac{1}{4}A$
Ta lại có: $\large \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{2ab}=\frac{b}{2}$
$\large \frac{a^{2}c}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{ac}{2b}$
Tương tự con lại
Do đó: $\large A\leq \frac{a+b+c}{2}+\frac{ac}{2b}+\frac{ab}{2c}+\frac{bc}{2a}= B$
Theo bài ra ta cần chứng minh: $\large B\leq a+b+c$ hay $\large \sum \frac{ac}{b}\leq a+b+c$ (1)
Mà (1) ở đây ngược nên có lẽ nào?????
mà A là gì, B là gì vậy bạn
BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC
Mình nghĩ là bài toán này thiếu ĐK,thêm a+b+c=3
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh