Chủ đề này có 1 trả lời

[sonnguyenquang]

$\sqrt[3]{x^{2}}-2{\sqrt[3]{x}}-(x-4){\sqrt{x-7}}-3x+28=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sonnguyenquang: 21-08-2013 - 13:14

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

ĐK: $x \geq 7$

Phương trình tương đương:

$\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + x = (x - 7)\sqrt{x - 7} + 3\sqrt{x - 7} + 4(x - 7)$ 

Đặt $a = \sqrt[3]{x}; b = \sqrt{x - 7} + 1\, (a \geq \sqrt[3]{7}, b \geq 1)$, ta được:

 

$a^3 + a^2 - 2a = (b - 1)^3 + 4(b - 1)^2 + 3(b - 1)$

 

$\Leftrightarrow a^3 + a^2 - 2a = b^3 + b^2 - 2b$

 

$\Leftrightarrow (a - b)(a^2 + ab + b^2 + a + b - 2) = 0$

 

Do $a \geq \sqrt[3]{7}; b \geq 1$ nên $ a^2 + ab + b^2 + a + b - 2 > 0$. Vậy: $a = b$

Suy ra: 

$\sqrt[3]{x} = \sqrt{x - 7} + 1$

 

$\Leftrightarrow \sqrt{x - 7} - 1 + 2 - \sqrt[3]{x} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x - 8}{\sqrt{x - 7} + 1} + \dfrac{8 - x}{4 + 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2}} = 0$

 

$\Leftrightarrow (x - 8)\left ( \dfrac{1}{\sqrt{x - 7} + 1} - \dfrac{1}{4 + 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2}} \right )$

 

Ta có: $\dfrac{1}{\sqrt{x - 7} + 1} - \dfrac{1}{4 + 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2}}$

 

$= \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} - \dfrac{1}{4 + 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2}} = \dfrac{4 + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x}\left (4 + 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2}\right )} > 0 $ $\forall$ $x \geq 7$

 

 

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất: x = 8

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 21-08-2013 - 14:45