Trong bài này, chúng ta sẽ tính vi phân của một hàm từ "gốc". Tức là chúng ta sẽ bắt đầu từ một mớ hỗn tạp và sau đó dùng đại số để tìm công thức tổng quát cho độ dốc đường cong ứng với mọi giá trị của $x$.
"Gốc" có thể hiểu là "công thức $\Delta$" vì nhiều bài viết sử dụng ký hiệu $\Delta x$ (ứng với sự thay đổi của $x$) và $\Delta y$ (ứng với sự thay đổi của $y$). Điều này vô tình làm cho đại số thêm phức tạp, nên chúng ta dùng $h$ thay thế cho $\Delta x$, ta vẫn gọi là "công thức $\Delta$".
Ta tìm kiếm một cách thức đại số để tìm độ dốc của $y=f(x)$ tại $P$ theo cách thay số mà ta đã xem trong chương độ dốc của tiếp tuyến với đường cong - số gần đúng
Ta có thể tính xấp xỉ giá trị này bằng cách lấy 1 điểm nào đó gần $P(x;f(x))$, giả sử như $Q(x+h;f(x+h))$.
Giá trị $\frac{g}{h}$ là giá trị xấp xỉ của độ dốc tiếp tuyến ta đã yêu cầu.
Ta có thể viết độ dốc này là:
$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
Nếu ta di chuyển $Q$ ngày càng gần tới $P$, đường $PQ$ sẽ gần trùng với tiếp tuyến tại $P$ và độ dốc của $PQ$ gần bằng với độ dốc ta cần tìm.
Nếu ta để $Q$ trùng với $P(i.e;h=0)$ thì ta sẽ có chính xác độ dốc tiếp tuyến.
Bây giờ $\frac{g}{h}$ có thể viết thành:
$$\frac{g}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Tương đương độ dốc $PQ$ là:
$$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Nhưng ta đang tìm độ dốc tại $P$ nên ta cho $h$ dần tiến đến $0$ dẫn đến $Q$ tiến đến $H$ và $\frac{g}{h}$ tiến tới độ dốc ta đang tìm.
I. Độ dốc đường cong theo đạo hàm:
Ta có thể viết độ dốc tiếp tuyến tại $P$ là:
$$\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Đây chính là vi phân từ gốc (hay công thức $\Delta$), là tốc độ thay đổi tức thời của $y$ theo $x$
Điều này tương đương với điều sau (nơi trước đó ta đã dùng $h$ thay cho $\Delta x$)
$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
Bạn có thể viết công thức $\Delta$ thành:
$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
II. Lưu ý về đạo hàm:
QUAN TRỌNG: Đạo hàm (vi phân) có thể viết theo nhiều cách, điều này có thể dẫn đến một số phiền phức cho những bạn mới nghiên cứu vi phân:
Điều theo sau đây tương đương cách viết đạo hàm bậc 1 của $y=f(x)$:
$\frac{dy}{dx}$ hoặc $f'(x)$ hoặc $y'$
Ví dụ 1: Tìm $\frac{dy}{dx}$ từ gốc khi $y=2x^{2}+3x$
Trả lời
Ví dụ 2:
a. Tìm $y'$ từ gốc của $y=x^{2}+4x$
b. Tìm độ dốc tiếp tuyến tại $x=1$ và $x=-6$
c. Vẽ đường cong và cả 2 tiếp tuyến
Trả lời
Xem thêm: Tổng quan về ngành vi tích phân
Bài trước: Độ dốc của tiếp tuyến với đường cong (số gần đúng)
Bài tiếp: Đạo hàm với tốc độ thay đổi tức thời
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 25-08-2013 - 19:56
