Cho $x,y,z$ là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng : $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{xz}{y^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y} \right )$
Cho $x,y,z$ là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng : $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{xz}{y^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y} \right )$
Đề bài này khó quá, mình thêm cho điều kiện $x,y,z>0$ cho nó dễ nhai cái.
Mọi ng cố gắng giúp mình cái
Cho $x,y,z$ là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng : $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{xz}{y^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y} \right )$
Nhân $2$ vào hai vế thì ta cần chứng minh :
$2(\frac{xy}{z^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}})\geq x\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )+y\left ( \frac{1}{z}+\frac{1}{x} \right )+z\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}\right )=\frac{x(y+z)}{yz}+\frac{y(z+x)}{zx}+\frac{z(x+y)}{xy}$
Theo $AM-GM$ :
$$\frac{xy}{z^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}=\frac{y(x^{3}+z^{3})}{z^{2}x^{2}}\geq \frac{xyz(x+z)}{z^{2}x^{2}}=\frac{y(x+z)}{zx}$$
Tương tự rồi cộng vế chúng lại thì ta được đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 01-09-2013 - 21:05
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Cho $x,y,z$ là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng : $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{xz}{y^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y} \right )$
$VT-VP=\frac{x(y+z)(y-z)^2}{y^2z^2}+\frac{y(z+x)(z-x)^2}{z^2x^2}+\frac{z(x+y)(x-y)^2}{x^2y^2}\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh