Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{xy}{z^{2}} \geq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{x+y}{z}\right )$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng : $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{xz}{y^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y} \right )$

 


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#2
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Đề bài này khó quá, mình thêm cho điều kiện $x,y,z>0$ cho nó dễ nhai cái.

 

:D

Mọi ng cố gắng giúp mình cái  :(


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#3
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng : $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{xz}{y^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y} \right )$

Nhân $2$ vào hai vế thì ta cần chứng minh :

$2(\frac{xy}{z^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}+\frac{zx}{y^{2}})\geq x\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )+y\left ( \frac{1}{z}+\frac{1}{x} \right )+z\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}\right )=\frac{x(y+z)}{yz}+\frac{y(z+x)}{zx}+\frac{z(x+y)}{xy}$

Theo $AM-GM$ :

$$\frac{xy}{z^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}=\frac{y(x^{3}+z^{3})}{z^{2}x^{2}}\geq \frac{xyz(x+z)}{z^{2}x^{2}}=\frac{y(x+z)}{zx}$$

Tương tự rồi cộng vế chúng lại thì ta được đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 01-09-2013 - 21:05

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho $x,y,z$ là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng : $\frac{xy}{z^{2}}+\frac{xz}{y^{2}}+\frac{yz}{x^{2}}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y} \right )$

$VT-VP=\frac{x(y+z)(y-z)^2}{y^2z^2}+\frac{y(z+x)(z-x)^2}{z^2x^2}+\frac{z(x+y)(x-y)^2}{x^2y^2}\geqslant 0$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh