Chủ đề này có 2 trả lời

[Mon Camy]

Cho A,B,C là ba góc nhọn của ba tam giác nhọn. Chứng minh rằng:  $tan^n A + tan^n B + tan^n C \ge  3 + \dfrac{3n}{2}$

 

[LzuTao]

Cho A,B,C là ba góc nhọn của ba tam giác nhọn. Chứng minh rằng:  $tan^n A + tan^n B + tan^n C \ge  3 + \dfrac{3n}{2}$

Vì $\tan^n x$ là hàm lồi $\forall x\in\left(0,\frac\pi2\right)$ nên theo BĐT Jensen, ta có: $$\sum_{\text{cyc}}\tan^n A \geq 3\left(\tan\frac{\pi}{3}\right)^n = 3\sqrt{3}^n$$

Nhưng theo BĐT Bernoulli, ta có: $\sqrt{3}^n=(1+2)^{\frac n2}\ge1+n\ge1+\frac n2$

Từ đó ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra $\iff n=0$.

[tcqang]

Vì $\tan^n x$ là hàm lồi $\forall x\in\left(0,\frac\pi2\right)$ nên theo BĐT Jensen, ta có: $$\sum_{\text{cyc}}\tan^n A \geq 3\left(\tan\frac{\pi}{3}\right)^n = 3\sqrt{3}^n$$

Nhưng theo BĐT Bernoulli, ta có: $\sqrt{3}^n=(1+2)^{\frac n2}\ge1+n\ge1+\frac n2$

Từ đó ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra $\iff n=0$.

Có thể né Jenxen bằng cách chứng minh $tanA + tanB + tanC = tanA tanB tanC \ge 3\sqrt{3}$

Sau đó lại dùng Cauchy cho 3 số $tan^n A, tan^n B, tan^n C$ và BĐT Becnuli như trên.