Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Hoai Linh]

$\frac{1}{\cos x\cos 2x}+\frac{1}{\cos 2x\cos 3x}+...+\frac{1}{\cos nx\cos (n+1)x}$   ;  n là số tự nhiên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 29-08-2013 - 10:35

[duongtoi]

$\frac{1}{\cos x\cos 2x}+\frac{1}{\cos 2x\cos 3x}+...+\frac{1}{\cos nx\cos (n+1)x}$   ;  n là số tự nhiên

Ta có $\cos x=\cos((n+1)x-nx)=\cos (n+1)x\cos nx+\sin(n+1)x\sin nx$

Do vậy, $\frac{1}{\cos nx.\cos(n+1)x}=\frac{1}{\cos x}\left ( 1+\frac{\sin nx\sin(n+1)x}{\cos nx\cos(n+1)x} \right )=\frac{1}{\cos x}(1+\tan nx.\tan(n+1)x)$

Tiếp tục ta có $1+\tan nx.\tan(n+1)x=\frac{\tan(n+1)x-\tan nx}{\tan x}$.

Do đó, $\frac{1}{\cos nx.\cos(n+1)x}=\frac{1}{\cos x}.\frac{\tan(n+1)x-\tan nx}{\tan x}=\frac{1}{\sin x}(\tan(n+1)x-\tan nx)$.

Vậy $A=\frac{1}{\sin x}(\tan 2x-\tan x)+\frac{1}{\sin x}(\tan3x-\tan2x)+\cdots+\frac{1}{\sin x}(\tan(n+1)x-\tan nx)=\frac{1}{\sin x}(\tan(n+1)x-\tan x)$ với $n\in\mathbb{N}^+$.

 

Từ kết quả này, ta ngay từ đầu ta có thể phân tích $\frac{1}{\cos nx.\cos(n+1)x}=\frac{1}{\sin x}.\frac{\sin((n+1)x-nx)}{\cos nx.\cos(n+1)x}=\frac{1}{\sin x}(\tan(n+1)x-\tan nx)$

Ban đầu, mình tách từ $\cos x$ vì thấy có thể triệt tiêu 01 ít ở tử.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 29-08-2013 - 11:57

[Phuong Thu Quoc]

$\frac{1}{\cos x\cos 2x}+\frac{1}{\cos 2x\cos 3x}+...+\frac{1}{\cos nx\cos (n+1)x}$   ;  n là số tự nhiên

 

+ Nếu $x= k\pi$ thì S=-n

+ Nếu $x\neq k\pi$ thì ta có

   $sinx.S=sinx.\sum \frac{1}{coskxcos\left ( k+1 \right )x}=\sum \frac{sinx}{coskxcos\left ( k+1 \right )x}=\sum \left ( tan\left ( k+1 \right )x-tankx \right )=tan\left ( n+1 \right )x-tanx$

$\Rightarrow$ S=$\frac{tan\left ( n+1 \right )x-tanx}{sinx}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 03-09-2013 - 19:51