Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangtrong2305]

I. Công thức tích:

 

Nếu $u$ và $v$ là 2 hàm số theo $x$ thì đạo hàm tích $uv$ được xác định bởi:

 

$$\frac{d(uv)}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$$

 

Phát biểu thành lời:

 

"Muốn đạo hàm tích hai hàm số, ta lấy hàm số thứ nhất nhân với đạo hàm hàm số thứ hai cộng với hàm số thứ hai nhân đạo hàm hàm số thứ nhất"

 

Công thức này từ đâu mà ra? Như nhiều công thức vi phân ta đã gặp đều được chứng minh dựa vào Đạo hàm từ gốc.

 

Ví dụ 1: 

 

Nếu ta có tích 2 hàm số:

 

$$y=(2x^{2}+6x)(2x^{3}+5x^{2})$$

 

Ta có thể tính đạo hàm trực tiếp mà không cần phải phá ngoặc nhân phân phối

 

Trả lời

 

Spoiler

Ta có 2 hàm số $u=2x^{2}+6x$ và $v=2x^{3}+5x^{2}$

Ta dùng công thức tích:

$$\frac{d(uv)}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$$

Đầu tiên ta tính:

$$\frac{dv}{dx}=6x^{2}+10x$$

Và:

$$\frac{du}{dx}=4x+6$$

Sau đó ta viết:

$$\frac{d(uv)}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$$

$$=(2x^{2}+6x)(6x^{2}+10x)+(2x^{3}+5x^{2})(4x+6)$$

$$=20x^{4}+88x^{3}+90x^{2}$$

 

 

Ví dụ 2: Tính đạo hàm:

 

$$y=(x^{3}-6x)(2-4x^{3})$$

 

Trả lời

 

Spoiler

Nhận thấy dạng $uv$, cụ thể:

$$u=(x^{3}-6x);v=(2-4x^{3})$$

$$\frac{d(uv)}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$$

$$=(x^{3}-6x)(-12x^{2})+(2-4x^{3})(3x^{2}-6)$$

$$=-24x^{5}+96x^{3}+6x^{2}-12$$

 

Chú ý: Ta có thể viết công thức tích này theo nhiều cách:

$$\frac{d(uv)}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$$

Hay:

$$\frac{d(fg)}{dx}=f(x)\frac{d}{dx}g(x)+g(x)\frac{d}{dx}f(x)$$

$$(uv)'=u'v+uv'$$

 

 

II. Công thức thương (phân số):

 

Nếu $u$ và $v$ là 2 hàm số theo $x$ thì đạo hàm thương $\frac{u}{v}$ được xác định bởi:

 

$$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$$

 

Phát biểu thành lời:

 

"Đạo hàm thương số bằng mẫu số nhân đạo hàm tử số trừ tử số nhân đạo hàm mẫu số tất cả chia cho mẫu số bình phương"

 

Ví dụ 3: Tính đạo hàm:

 

$$y=\frac{2x^{3}}{4-x}$$

 

Trả lời

 

Spoiler

Nhận thấy hàm số có dạng $\frac{u}{v}$, với $u=2x^{3}$ và $v=4-x$

Dùng công thức thương, ta được:

$$\frac{du}{dx}=6x^{2}$$

Và:

$$\frac{dv}{dx}=-1$$

Lại có:

$$\frac{d(\frac{u}{v})}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$$

$$=\frac{(4-x)(6x^{2})-(2x^{3})(-1)}{(4-x)^{2}}$$

$$=\frac{24x^{2}-4x^{3}}{(4-x)^{2}}$$

 

 

Ví dụ 4: Tìm $\frac{dy}{dx}$ của:

 

$$y=\frac{4x^{2}}{x^{3}+3}$$

 

Trả lời

 

Spoiler

Ta đặt $u=4x^{2}$ và $v=x^{3}+3$

Dùng công thức thương, ta được:

$$\frac{du}{dx}=8x;\frac{dv}{dx}=3x^{2}$$

Lại có:

$$\frac{d(\frac{u}{v})}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$$

$$=\frac{(x^{3}+3)(8x)-(4x^{2})(3x^{2})}{(x^{3}+3)^{2}}$$

$$=\frac{-4x^{4}+24x}{(x^{3}+3)^{2}}$$

 

 

Chú ý: Ta có thể viết công thức thương này theo nhiều cách:

 

$$\frac{d}{dx}\left ( \frac{f}{g} \right )=\frac{g\frac{df}{dx}-f\frac{dg}{dx}}{g^{2}}$$

 

Hay:

 

$$\frac{d}{dx}\left ( \frac{u}{v} \right )=\frac{vu'-uv'}{v^{2}}$$

 

$$\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$

 

Xem thêm: Tổng quan về ngành vi tích phân

 

Bài trước: Đạo hàm đa thức

 

Bài tiếp: Đạo hàm hàm số có lũy thừa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 30-08-2013 - 22:26

[quocdat029x]

thật sự chả hiểu tại sao diễn đàn ngày càng thu hẹp thế này? chịu