Chủ đề này có 5 trả lời

[phamchungminhhuy]

$\frac{a^{4}}{a^{4}+\sqrt[3]{(a^{6}+b^{6})(a^{3}+c^{3})^{2}}}+\frac{b^{4}}{b^{4}+\sqrt[3]{(b^{6}+c^{6})(b^{3}+a^{3})^{2}}}+\frac{c^{4}}{c^{4}+\sqrt[3]{(c^{6}+a^{6})(c^{3}+b^{3})^{2}}}\leq 1$         

-------

Chú ý cách đặt tiêu đề bạn nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 30-08-2013 - 21:22

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Theo BĐT Holder, với các số dương $x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3$ ta có: 

$$(x_1^3 + y_1^3)(x_2^3 + y_2^3)(x_3^3 + y_3^3) \geq (x_1x_2x_3 + y_1y_2y_3)^3$$

Áp dụng BĐT trên, khi đó:

$(a^6 + b^6)(a^3 + c^3)^2 = (a^6 + b^6)(c^3 + a^3)(c^3 + a^3) \geq (a^2c^2 + b^2a^2)^3$

Vì vậy

$\dfrac{a^4}{a^4 + \sqrt[3]{\left ( a^6 + b^6\right )\left ( a^3 + c^3\right )^2}} \leq \dfrac{a^4}{a^4 + (a^2c^2 + b^2a^2)} = \dfrac{a^2}{a^2 + b^2 + c^2}$

Thực hiện tương tự với các số hạng kia và cộng vế theo vế, ta có điều phải chứng minh.

 

[Kaito Kuroba]

bài này dùng cosi cũng được:

$\sqrt[3]{\left ( a^6+b^6 \right )\left ( a^3+c^3 \right )^2}=\sqrt[3]{a^{12}+2a^3b^6c^3+2a^9c^3+b^6c^6+a^6b^6+a^6c^6} \geq \sqrt[3]{3a^6b^4c^2+3a^6b^2c^4+a^6c^6+a^6b^6} =\sqrt[3]{(a^2b^2+a^2c^2)^3}=a^2b^2+a^2c^2$

mấy cai kia cũng tương tư:

$\Rightarrow \frac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+b^3)^2}}\leq \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$

đây la bài làm của mình. bài này chi sử dung cosi, nếu dùng holder thì dễ dàng hơn nhiều. nhưng Holder đã được bạn trên Cm rồi. mình không muốn lặp ý tưởng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 02-01-2014 - 21:09

[Hoang Tung 126]

bài này dùng cosi cũng được:

$\sqrt[3]{\left ( a^6+b^6 \right )\left ( a^3+c^3 \right )^2}=\sqrt[3]{a^{12}+2a^3b^6c^3+2a^9c^3+b^6c^6+a^6b^6+a^6c^6} \geq \sqrt[3]{3a^6b^4c^2+3a^6b^2c^4+a^6c^6+a^6b^6} =\sqrt[3]{(a^2b^2+a^2c^2)^3}=a^2b^2+a^2c^2$

mấy cai kia cũng tương tư:

$\Rightarrow \frac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+b^3)^2}}\leq \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$

đây la bài làm của mình. bài này chi sử dung cosi, nếu dùng holder thì dễ dàng hơn nhiều. nhưng Holder đã được bạn trên Cm rồi. mình không muốn lặp ý tưởng.

Bài này dùng AM-GM hình như ngắn gọn hơn thì phải

[Phuong Mark]

Bài này dùng AM-GM hình như ngắn gọn hơn thì phải

nhưng mà cái khai triển thì lợi hại quá 

@cái công phá ngoặc làm mình cảm thấy chán rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Mark: 16-02-2015 - 20:40

[Hoang Tung 126]

nhưng mà cái khai triển thì lợi hại quá 

Là sao bạn