Chủ đề này có 25 trả lời

[CDN]

Đây là chuyên đề của mình các bạn xem có được không.

BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG PHÂN THỨC

Dưới đây chỉ là một số dạng của BDT phân thức không phải là tất cả.
Các ẩn trong các bài toán dưới đây đều là các số dương.

[b[DẠNG 1 [/b]

1. Cho $\ge$ VP. Trong đó
VT: phân thức hữu tỷ
VP:biểu thức đa thức

-Cách CM: Ta sẽ phải tìm biểu thức A sao cho VT$\ge$A$\ge$VP.
Và nhớ hai BĐT sau (bạn đọc tự CM) để sử dụng cho tiện:
$\large\dfrac{a(3a-b)}{c(a+b)}+\dfrac{b(3b-c)}{a(b+c)}+\dfrac{c(3c-a)}{b(c+a)}\le\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}$

2. $\large\sum\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a}}\le\dfrac{3}{2}$

6.$\large\sum\dfrac{1}{a^3(b+c)}\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}[\sum\dfrac{a(b-c)^2}{b+c}]$

7*.CM:
$\large\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}\ge abc+\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Nam: 27-06-2009 - 10:14

[CDN]

[quote name='detectivehien' date='Mar 23 2006, 11:44 AM'] Em làm bài 2 nhé (bài này dễ nhất thì phải)
Có: a+3 =a+1+1+1
$a_1.a_2...a_n$ =1
Chứng minh
$\sqrt[4]{a}=\sqrt[4]{b}=\dfrac{1}{2},\sqrt[4]{c}=\sqrt[4]{d}=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Nam: 27-06-2009 - 10:15

[ilovemoney_hic]

Trông bài 2 có vẻ dễ nhất nên em lao zô làm,nhưng làm mãi không ra báo hại cả tuần thiếu bài bị cô chủ nhiệm cho ăn đòn hichic
Nhưng bù lại thì cuối cùng cũng làm ra
Đặt (vì xyzt=1(do abcd=1)
chứng minh tương tự cho các số còn lại rồi cộng vào ta được điều phải cm
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1

[CDN]

Trông bài 2 có vẻ dễ nhất nên em lao zô làm,nhưng làm mãi không ra báo hại cả tuần thiếu bài bị cô chủ nhiệm cho ăn đòn hichic
Nhưng bù lại thì cuối cùng cũng làm ra
Đặt (vì xyzt=1(do abcd=1)
chứng minh tương tự cho các số còn lại rồi cộng vào ta được điều phải cm
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1

Em làm đúng rồi đó, bằng cách đó ta có thể làm được luôn bài 3.
Mà bài 4 dễ hơn nhiều không phải bài 2 đâu.
Sao các em chỉ làm mỗi bài tập dạng 6 thế, các dạng khác chán lắm sao.
Có bài nào không làm được cứ đưa lên đây, anh sẵn sàng giải đáp

[nguyenngocquy]

mình có vài nhận xét thế này
thứ nhất bạn ở mỗi dạng bạn cần chỉ ra tại sao lại làm như vậy
thứ hai ở mỗi dạng như thế bạn nên làm thêm vài ví dụ để người đọc dễ dàng hình dung ra cách sử dụng pp
đây chỉ là ý kiến của riêng mình. nếu có gì sai thì mong bỏ quá cho

[robben]

mình có vài nhận xét thế này
thứ nhất bạn ở mỗi dạng bạn cần chỉ ra tại sao lại làm như vậy
thứ hai ở mỗi dạng như thế bạn nên làm thêm vài ví dụ để người đọc dễ dàng hình dung ra cách sử dụng pp
đây chỉ là ý kiến của riêng mình. nếu có gì sai thì mong bỏ quá cho

mình đọc thấy rất dễ hiểu mà bạn, cần chi phải chỉ rõ ra tại sao phải làm thế đâu, rất rõ ràng mà

[ilovemoney_hic]

Em làm bài dạng 1 nha các bác (làm nhanh không các bác làm mất thì hết cơ hội tăng bài )
1)$P-Q= \dfrac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \dfrac{b^{3}-c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}} +\dfrac{c^{3}-a^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}} = 0 \Rightarrow 2P= \dfrac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \dfrac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}} +\dfrac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}$
Bây giờ ta cm:
$\dfrac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}} \geq \dfrac{a+b}{3} \Leftrightarrow \dfrac{a^{2}-ab+b^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} \geq \dfrac{1}{3}$
Cái này các bác cứ nhân chéo lên là được
PS: bài này bác đáng sai đề ạ!
2)Dùng Côsi ta cm được bđt này nhờ bất đẳng thức trong ví dụ (không giải cụ thể các bác thông cảm nhé!)
Roài thế đã mệt wa' roài,hôm nay về nghĩ tiếp!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 28-04-2009 - 20:01

[detectivehien]

Bài tập dang 1 không khác mấy so với bài mẫu của anh CDN
3.Chỉ cần CM:$\dfrac{a^6+b^6}{(a+b)^2(a^2+b^2)^2}\geq\dfrac{1}{8}$
Có:$8(a^6+b^6)\geq4(a^2+b^2)(a^4+b^4)\geq(a+b)^2(a^2+b^2)^2$(trêbưsép và côsi)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 28-04-2009 - 20:02

[detectivehien]

Dạng 2:
1.$a(1-a^8)\leq\dfrac{8}{9.\sqrt[8]{9}}$
$\dfrac{a^3}{1-a^8}\geq a^4 \dfrac{9.\sqrt[8]{9}}{8}$...

3.$a(1-a^2) \leq .\dfrac{2}{3.\sqrt3}$
$\dfrac{b}{1-a^2}\geq ab.\dfrac{3.\sqrt3}{2}$....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 28-04-2009 - 20:04

[ilovemoney_hic]

Dạng 3:
1) Sử dụng BĐT $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{9}{a+b+c}$
2)$\dfrac{1}{ \sqrt{a}} + \dfrac{1}{ \sqrt{b}} + \dfrac{1}{ \sqrt{ \dfrac{c}{2}}} \geq \dfrac{16}{ \sqrt{a} + \sqrt{a} + \sqrt{ \dfrac{c}{2}} + \sqrt{ \dfrac{c}{2}} } \geq \dfrac{16}{ 4\sqrt{ \dfrac{a+b+c}{4}}} \Rightarrow dpcm$
3)Như ví dụ (thay c=1)
4)Làm bằng cách tương tự như ví dụ ta có điều phải cm
5)$\dfrac{1}{a^{2}}+ \dfrac{1}{a^{2}} +\dfrac{1}{c^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} \geq \dfrac{4}{a \sqrt{bc}} $
Tương tự (nhân 2 BĐT (2) và nhân 3 BĐT (3))cộng lại ta có$S \geq 4(\dfrac{4}{a \sqrt{bc}} + \dfrac{2}{b \sqrt{ac}} + \dfrac{3}{c \sqrt{ba}} \geq \dfrac{4.36}{24}=6 )$
6) Chưa làm được (hic)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 28-04-2009 - 20:05

[secret]

mình có vài nhận xét thế này
thứ nhất bạn ở mỗi dạng bạn cần chỉ ra tại sao lại làm như vậy
thứ hai ở mỗi dạng như thế bạn nên làm thêm vài ví dụ để người đọc dễ dàng hình dung ra cách sử dụng pp
đây chỉ là ý kiến của riêng mình. nếu có gì sai thì mong bỏ quá cho

Hix . Anh CDN giải giúp em bài 4 & 5 dạng 6 đi
Bài em nhân thên ( a-1). Còn bài 5 đặc ẩn giống anh đã chỉ nhưng vẫn làm ko ra

[CDN]

mình có vài nhận xét thế này
thứ nhất bạn ở mỗi dạng bạn cần chỉ ra tại sao lại làm như vậy
thứ hai ở mỗi dạng như thế bạn nên làm thêm vài ví dụ để người đọc dễ dàng hình dung ra cách sử dụng pp
đây chỉ là ý kiến của riêng mình. nếu có gì sai thì mong bỏ quá cho

Hix . Anh CDN giải giúp em bài 4 & 5 dạng 6 đi
Bài em nhân thên ( a-1). Còn bài 5 đặc ẩn giống anh đã chỉ nhưng vẫn làm ko ra

Bài 4: Anh gõ nhầm đề , sửa lại rồi.
Đặt $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{t},d=\dfrac{t}{x}$
BĐT tương đương với : $sum \dfrac{y^3}{(x+y)(x^2+y^2)}\ge 1$
Đến đây chắc dễ rồi.
Bài 5:
BĐT tương đương : $sum\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a(a+b+c)}}\le\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \sum\sqrt{\dfrac{bc}{(a+b)(a+c)}}\le \dfrac{3}{2}$
Đến đây chỉ cần AM-GM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 28-04-2009 - 20:06

[TIG Messi]

Em thấy có vẻ dạng 3 bao gồm cả dạng 1 thì phải.
Cả 2 dạng này đều chọn điểm rơi nhưng dạng 3 khó hơn một tí.

[HoangTung1212]

mình có vài nhận xét thế này
thứ nhất bạn ở mỗi dạng bạn cần chỉ ra tại sao lại làm như vậy
thứ hai ở mỗi dạng như thế bạn nên làm thêm vài ví dụ để người đọc dễ dàng hình dung ra cách sử dụng pp
đây chỉ là ý kiến của riêng mình. nếu có gì sai thì mong bỏ quá cho

Hix . Anh CDN giải giúp em bài 4 & 5 dạng 6 đi
Bài em nhân thên ( a-1). Còn bài 5 đặc ẩn giống anh đã chỉ nhưng vẫn làm ko ra

Bài 4: Anh gõ nhầm đề , sửa lại rồi.
Đặt $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{t},d=\dfrac{t}{x}$
BĐT tương đương với : $\sum \dfrac{y^3}{(x+y)(x^2+y^2)}\ge 1$
Đến đây chắc dễ rồi.
Bài 5:
BĐT tương đương : $\sum\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a(a+b+c)}}\le\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \sum\sqrt{\dfrac{bc}{(a+b)(a+c)}}\le \dfrac{3}{2}$
Đến đây chỉ cần AM-GM

AM-GM là gì vậy nhỉ, có ai nói giúp mình với

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 25-05-2009 - 15:23

[TIG Messi]

AM-GM = Cô-si
AM-GM là trung bình cộng - trung bình nhân
anh em hay dùng AM-GM cho "oách"
Thực là BĐT cô-si thui mà!

[Instinctlife]

Các bạn cho tui tham gia với nhé:
Dạng 4:
Bài 3:
Từ cái $\dfrac{2}{1+ab}$(1)
Áp dụng vào thì ta sẽ có:
*$\dfrac{1}{1+abc}$ cho cả 2 vế rồi áp dụng (1) của bài 3 2 lần ta sẽ được điều (2).
Áp dụng (2) ta có:
$\dfrac{1}{1+ a^{3}}+\dfrac{1}{1+ a^{3}}+ \dfrac{1}{1+b^{3}} \geq \dfrac{3}{1+ab^{2} }$
Tương tự rồi cộng 3 cái vào với nhau,rồi chia 3 hai vế ta có đpcm
Dấu = <=> a=b=c

Bài 6:
Áp dụng (2) của bài 5,ta có:
$ \dfrac{1}{1+ a^{3} } + \dfrac{1}{1+ b^{3}} + \dfrac{1}{1+ 2^{3}}\geq \dfrac{3}{1+2ab}$
Mà VT=VP,dấu = xảy ra <=> a=b=2
Vậy a=b=2

Diễn đàn này đánh các ký hiệu toán học hay thật đấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 28-04-2009 - 20:08

[Instinctlife]

Úi chà,hum nay đang cao hứng vì thế bà con cho tui trả lời thêm bài nữa nhé
Dạng 5:
Bài 1:
Xài Cô-si là ngon lành:
$\dfrac{ a^{5} }{(b+c)^{3} } + \dfrac{a(b+c)}{16} + \dfrac{a(b+c)}{16}+ \dfrac{a(b+c)}{16} \geq 4. \sqrt[4]{ \dfrac{ a^{8} }{ 16^{3} } } = \dfrac{ a^{2}}{8}$
Rồi các bác áp dụng ab+bc+ca $\leq a^{2}+ b^{2} +c^{2}$là ra thôi mà.

Bài 4*:Úi chà,cái này chả tìm thấy được tổng quát,bạn nào trình độ tìm hộ tui dạng tổng quát của bài này nhá:
$\dfrac{ a^{3}}{ a^{2} + b^{2} }= \dfrac{a( a^{2}+b^{2}-b^{2} }{ a^{2}+b^{2} }=a- \dfrac{ab^{2} }{ a^{2}+b^{2 }$
Áp dụng BĐT Cô-Si cho cái mẫu thì ta sẽ có :
$\dfrac{ a^{3} }{ a^{2}+b^{2} } \geq a- \dfrac{b}{2}$
Tương tự rồi cộng vào là xong
=>đpcm!

Chú thích thêm là hum nay em đang chuẩn bị đi ngủ,nên mấy bài còn lại nhìn gai gai mắt chưa bít là khó hay dễ,mai em sẽ làm,không làm được thì thui,coi như là dốt vậy,nhưng sẽ cố gắng,các bác cứ giải đi cho em tham khảo bài của các anh tài nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 28-04-2009 - 20:10

[Instinctlife]

Dạng 4:
Bài 7:
Ta có là:
$(2-a)( \dfrac{1}{1+a} + \dfrac{1}{1+b}) \geq \dfrac{2(2-a)}{1+ \sqrt{ab} }$
$(1+a)( \dfrac{1}{1+b}+ \dfrac{1}{1+c}) \geq \dfrac{2(1+a)}{1+ \sqrt{bc} }$
$(a-1)( \dfrac{1}{1+a}+ \dfrac{1}{1+c}) \geq \dfrac{2(a-1)}{1+ \sqrt{ac} }$
Cộng vào rồi tách ra ta sẽ có đpcm!
Dạng 5:
Bài 2:
Ta lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
$ \dfrac{ x^{3} }{(1+z)(1+y)} + \dfrac{1+y}{8}+\dfrac{1+z}{8}\geq 3.\sqrt[3]{ \dfrac{ x^{3} }{64}}=3 \dfrac{x}{4} $
Tương tự rui`cộng 3 BDT vào với nhau rồi chuyển $\dfrac{1+x}{4}+ \dfrac{1+y}{4}+ \dfrac{1+z}{4} $sang VP, rồi cô-si để xuất hiện xyz là xong

Bài 5:Tương tự bài trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 28-04-2009 - 20:10

[mathmath]

dạng 4 bài 6
$\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+2^3}\geq\dfrac{1}{1+\sqrt[3]{a^3b^32^3}}$
$\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+2^3}\geq\dfrac{1}{1+2ab}$
dấu bằng xảy ra khi a=b=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 28-04-2009 - 20:11

[mathmath]

dạng 4 bài 3
$\dfrac{1}{1+a^4}+\dfrac{1}{1+b^4}+\dfrac{1}{1+c^2}+\dfrac{1}{1+c^2}\geq\dfrac{4}{1+\sqrt[4]{a^4b^4c^2c^2}}$
$\dfrac{1}{1+a^4}+\dfrac{1}{1+b^4}+\dfrac{1}{1+c^2}+\dfrac{1}{1+c^2}\geq\dfrac{4}{1+abc}$
mấy bài này ai cũng làm được nên em hơi ngại,hic,chiều em sẽ post những bài chất lượng hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 28-04-2009 - 20:12