2 replies to this topic

[Peter97]

$\left\{\begin{matrix} (x +1)(y + 1)+1 =(x^{2} +x + 1)(y^{2} +y +1) & & \\ x^{3} +3x +(x^{3} -y +4 )\sqrt{x^{3} -y +1}=0 & & \end{matrix}\right.$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Viết lại hệ phương trình dưới dạng:

$\left\{\begin{matrix} x^2y^2 + x^2y + y^2x + x^2 + y^2 = 1 \, (1)\\ x^{3} + 3x +(x^{3} -y + 1 )\sqrt{x^{3} -y +1} + 3\sqrt{x^3 - y + 1}=0 \end{matrix}\right.$

 

Đặt $a = \sqrt{x^3 - y + 1} \geq 0$, phương trình thứ hai của hệ trở thành: 

$x^3 + 3x + a^3 + 3a = 0 \Leftrightarrow (x + a)(x^2 - ax + a^2 + 3) = 0 \Leftrightarrow x = -a$

 

$\Rightarrow \sqrt{x^3 - y + 1} = -x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \leq 0\\x^3 - y + 1 = x^2\end{matrix}\right.$

 

Khi đó, biến đổi (1) bằng các phép thế thích hợp, ta có:

$x^2y^2 + x^2y + y^2x + y^2 + x^3 - y = 0$

 

$\Leftrightarrow x^2y^2 + y(x^2 - 1) + y^2x + y^2 + x^3 = 0$ 

 

$\Leftrightarrow x^2y^2 + y(x^3 - y) + y^2x + y^2 + x^3 = 0$

 

$\Leftrightarrow x^2y^2 + x^3y + y^2x + x^3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 0\\xy^2 + x^2y + y^2 + x^2 = 0 \Rightarrow x^2y^2 = 1\end{matrix}\right. \, (\star)$

 

Thế hai trường hợp nói trên vào để giải Cảm ơn tuyetdo164 nhé!

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 01-09-2013 - 11:57.

[tuyetdo164]

bạn phân tích thiếu $x^{2}y^{2}$ ở (1) nên bị thiếu nghiệm x=y=-1