$$\left\{\begin{matrix}{{2}^{x}}+{{2}^{\sqrt{2-{{y}^{2}}}}}=4& \\ {{2}^{y}}+{{2}^{\sqrt{2-{{x}^{2}}}}}=4&\end{matrix}\right.$$
$\left\{\begin{matrix} 2^x+2^{\sqrt{2-y^2}}=4 & & \\ 2^y+2^{\sqrt{2-x^2}}=4 & & \end{matrix}\right.$
$$\left\{\begin{matrix}{{2}^{x}}+{{2}^{\sqrt{2-{{y}^{2}}}}}=4& \\ {{2}^{y}}+{{2}^{\sqrt{2-{{x}^{2}}}}}=4&\end{matrix}\right.$$
$\left\{\begin{matrix} 2^x+2^{\sqrt{2-y^2}}=4 & & \\ 2^y+2^{\sqrt{2-x^2}}=4 & & \end{matrix}\right.$
Giải hệ phương trình$$\left\{\begin{matrix}{{2}^{x}}+{{2}^{\sqrt{2-{{y}^{2}}}}}=4& \\ {{2}^{y}}+{{2}^{\sqrt{2-{{x}^{2}}}}}=4&\end{matrix}\right.$$
$\left\{\begin{matrix} 2^x+2^{\sqrt{2-y^2}}=4
& & \\ 2^y+2^{\sqrt{2-x^2}}=4
& &
\end{matrix}\right.$
ĐK: $|x|\leq \sqrt{2},|y|\leq \sqrt{2}$
$\Rightarrow 2^x-2^{\sqrt{2-x^2}}=2^y+2^{\sqrt{2-y^2}}$ (*)
Xét hàm số $f(t)=2^t-2^{\sqrt{2-t^2}}$ với $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$
Mà $f'(t)=2^t.\ln2+2^{\sqrt{2-t^2}}.\ln2.\frac{t}{\sqrt{2-t^2}}>0$ với mọi $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$
$\Rightarrow f(t)$ đồng biến
Do vậy$(*)\Leftrightarrow x=y$
Thay $x=y$ vào pt (1) ta được: $ 0=2^x-2^{\sqrt{2-x^2}}-4=g(x)$
Xét $$g'(x)=2^x.\ln2+2^{\sqrt{2-x^2}}.\ln2.\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}>0$$
Suy ra $g(x)$ đồng biến. Mà $g(\sqrt{2})=2^{\sqrt{2}}+1<2^2+1=4$ nên hệ vô nghiệm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 03-09-2013 - 11:35
$\left\{\begin{matrix} 2^x+2^{\sqrt{2-y^2}}=4
& & \\ 2^y+2^{\sqrt{2-x^2}}=4
& &
\end{matrix}\right.$ĐK: $|x|\leq \sqrt{2},|y|\leq \sqrt{2}$
$\Rightarrow 2^x-2^{\sqrt{2-x^2}}=2^y+2^{\sqrt{2-y^2}}$ (*)
Xét hàm số $f(t)=2^t-2^{\sqrt{2-t^2}}$ với $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$
Mà $f'(t)=2^t.\ln2+2^{\sqrt{2-t^2}}.\ln2.\frac{t}{\sqrt{2-t^2}}>0$ với mọi $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$
$\Rightarrow f(t)$ đồng biến
Do vậy$(*)\Leftrightarrow x=y$
Thay $x=y$ vào pt (1) ta được: $ 0=2^x-2^{\sqrt{2-x^2}}-4=g(x)$
Xét $$g'(x)=2^x.\ln2+2^{\sqrt{2-x^2}}.\ln2.\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}>0$$
Suy ra $g(x)$ đồng biến. Mà $g(\sqrt{2})=2^{\sqrt{2}}+1<2^2+1=4$ nên hệ vô nghiệm
Bạn bị nhầm rùi, hệ có nghiệm x=y=1, và chưa chắc $f'(t)>0,\forall t\epsilon \left [ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right ]$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi germany3979: 03-09-2013 - 18:34
Theo mình thì giải như sau:
+ Xét $x\epsilon \left [ -\sqrt{2};0 \right ]$, ta có:
$2^{x}\leqslant 1$
$2^{\sqrt{2-y^{2}}}\leqslant 2^{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow 2^{x}+2^{\sqrt{2-y^{2}}}\leqslant 1+2^{\sqrt{2}}<4$
Suy ra hệ vô nghiệm, tương tự ta có hệ vô nghiệm khi $y\epsilon \left [ -\sqrt{2};0 \right ]$
+ Xét $x,y\epsilon (0;\sqrt{2}]$
$\Rightarrow 2^{x}-2^{\sqrt{2-x^{2}}}=2^{y}-2^{\sqrt{2-y^{2}}}$
Xét hàm số $f(t)=2^{t}-2^{\sqrt{2-t^{2}}},t\epsilon (0;\sqrt{2}]$$f(t)=2^{t}-2^{\sqrt{2-t^{2}}},t\epsilon (0;\sqrt{2}]\Rightarrow f'(t)=2^{t}.ln2+2^{\sqrt{2-t^{2}}}.\frac{t}{\sqrt{2-t^{2}}}ln2>0$
$\Rightarrow x=y$
$\Rightarrow 2^{x}+2^{\sqrt{2-x^{2}}}=4$
xét hàm số $g(x)=2^{x}+2^{\sqrt{2-x^{2}}},x\epsilon (0;\sqrt{2}]$
$\Rightarrow maxg(x)=g(1)=4$
Suy ra hệ có nghiệm duy nhất $x=y=1$
Hình như cách này hơi lạ:
Hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\log _2(4-2^x)=\sqrt{2-y^2} & & \\ \log_2(4-2^y)=\sqrt{2-x^2} & & \end{matrix}\right.$
Thay lại vào hệ ta được: $\left\{\begin{matrix}2^x+2^{\log_2(4-2^x)}=4 & & \\ 2^y+2^{\log_2(4-2^y)}=4 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x+2^{2-x}=4 & & \\ 2^y+2^{2-y}=4 & & \end{matrix}\right.$ $ \Leftrightarrow 2^x=2^y=2\Leftrightarrow x=y=1$ (thỏa điều kiện)
Vậy (1;1) là nghiệm duy nhất của hệ.
P/s: cách này sai ở đâu ?
$\left\{\begin{matrix} 2^x+2^{\sqrt{2-y^2}}=4
& & \\ 2^y+2^{\sqrt{2-x^2}}=4
& &
\end{matrix}\right.$ĐK: $|x|\leq \sqrt{2},|y|\leq \sqrt{2}$
Mà $f'(t)=2^t.\ln2+2^{\sqrt{2-t^2}}.\ln2.\frac{t}{\sqrt{2-t^2}}>0$ với mọi $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$
Lấy máy tính thử với $x=-1$ thấy kết quả đạo hàm $f'(-1)=-1,039720771$
Một phép thử đơn giản.
Lấy máy tính thử với $x=-1$ thấy kết quả đạo hàm $f'(-1)=-1,039720771$
Một phép thử đơn giản.
Spam tí: Mình đâu có nói mình đúng đâu..
Hình như cách này hơi lạ:
Hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\log _2(4-2^x)=\sqrt{2-y^2} & & \\ \log_2(4-2^y)=\sqrt{2-x^2} & & \end{matrix}\right.$
Thay lại vào hệ ta được: $\left\{\begin{matrix}2^x+2^{\log_2(4-2^x)}=4 & & \\ 2^y+2^{\log_2(4-2^y)}=4 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x+2^{2-x}=4 & & \\ 2^y+2^{2-y}=4 & & \end{matrix}\right.$ $ \Leftrightarrow 2^x=2^y=2\Leftrightarrow x=y=1$ (thỏa điều kiện)
Vậy (1;1) là nghiệm duy nhất của hệ.
P/s: cách này sai ở đâu ?
Sai ở bước này: $$\left\{\begin{matrix}2^x+2^{\log_2(4-2^x)}=4 & & \\ 2^y+2^{\log_2(4-2^y)}=4 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x+2^{2-x}=4 & & \\ 2^y+2^{2-y}=4 & & \end{matrix}\right.$$
Vì $2^{\log_2(4-2^x)}=4-2^x$ chứ không bằng $2^{2-x}$.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh