Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} 2^x+2^{\sqrt{2-y^2}}=4 & & \\ 2^y+2^{\sqrt{2-x^2}}=4 & & \end{matrix}\right.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
phatthientai

phatthientai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết
Giải hệ phương trình

 

$$\left\{\begin{matrix}{{2}^{x}}+{{2}^{\sqrt{2-{{y}^{2}}}}}=4 
 & \\ {{2}^{y}}+{{2}^{\sqrt{2-{{x}^{2}}}}}=4
 & 
\end{matrix}\right.$$

 

 

$\left\{\begin{matrix} 2^x+2^{\sqrt{2-y^2}}=4  &  & \\ 2^y+2^{\sqrt{2-x^2}}=4  &  & \end{matrix}\right.$

 



#2
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

 

Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}{{2}^{x}}+{{2}^{\sqrt{2-{{y}^{2}}}}}=4 
 & \\ {{2}^{y}}+{{2}^{\sqrt{2-{{x}^{2}}}}}=4
 & 
\end{matrix}\right.$$

 

$\left\{\begin{matrix} 2^x+2^{\sqrt{2-y^2}}=4
 &  & \\ 2^y+2^{\sqrt{2-x^2}}=4
 &  &
\end{matrix}\right.$

ĐK: $|x|\leq \sqrt{2},|y|\leq \sqrt{2}$

$\Rightarrow 2^x-2^{\sqrt{2-x^2}}=2^y+2^{\sqrt{2-y^2}}$       (*)

Xét hàm số $f(t)=2^t-2^{\sqrt{2-t^2}}$         với $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

Mà $f'(t)=2^t.\ln2+2^{\sqrt{2-t^2}}.\ln2.\frac{t}{\sqrt{2-t^2}}>0$ với mọi $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến

 Do vậy$(*)\Leftrightarrow x=y$

Thay $x=y$ vào pt (1) ta được: $ 0=2^x-2^{\sqrt{2-x^2}}-4=g(x)$

Xét $$g'(x)=2^x.\ln2+2^{\sqrt{2-x^2}}.\ln2.\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}>0$$

Suy ra $g(x)$ đồng biến. Mà $g(\sqrt{2})=2^{\sqrt{2}}+1<2^2+1=4$ nên hệ vô nghiệm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 03-09-2013 - 11:35


#3
germany3979

germany3979

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

$\left\{\begin{matrix} 2^x+2^{\sqrt{2-y^2}}=4
 &  & \\ 2^y+2^{\sqrt{2-x^2}}=4
 &  &
\end{matrix}\right.$

ĐK: $|x|\leq \sqrt{2},|y|\leq \sqrt{2}$

$\Rightarrow 2^x-2^{\sqrt{2-x^2}}=2^y+2^{\sqrt{2-y^2}}$       (*)

Xét hàm số $f(t)=2^t-2^{\sqrt{2-t^2}}$         với $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

Mà $f'(t)=2^t.\ln2+2^{\sqrt{2-t^2}}.\ln2.\frac{t}{\sqrt{2-t^2}}>0$ với mọi $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến

 Do vậy$(*)\Leftrightarrow x=y$

Thay $x=y$ vào pt (1) ta được: $ 0=2^x-2^{\sqrt{2-x^2}}-4=g(x)$

Xét $$g'(x)=2^x.\ln2+2^{\sqrt{2-x^2}}.\ln2.\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}>0$$

Suy ra $g(x)$ đồng biến. Mà $g(\sqrt{2})=2^{\sqrt{2}}+1<2^2+1=4$ nên hệ vô nghiệm

Bạn bị nhầm rùi, hệ có nghiệm x=y=1, và chưa chắc $f'(t)>0,\forall t\epsilon \left [ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right ]$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi germany3979: 03-09-2013 - 18:34


#4
germany3979

germany3979

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Theo mình thì giải như sau:

+ Xét $x\epsilon \left [ -\sqrt{2};0 \right ]$, ta có:

$2^{x}\leqslant 1$

$2^{\sqrt{2-y^{2}}}\leqslant 2^{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow 2^{x}+2^{\sqrt{2-y^{2}}}\leqslant 1+2^{\sqrt{2}}<4$

Suy ra hệ vô nghiệm, tương tự ta có hệ vô nghiệm khi $y\epsilon \left [ -\sqrt{2};0 \right ]$

+ Xét $x,y\epsilon (0;\sqrt{2}]$

$\Rightarrow 2^{x}-2^{\sqrt{2-x^{2}}}=2^{y}-2^{\sqrt{2-y^{2}}}$

Xét hàm số $f(t)=2^{t}-2^{\sqrt{2-t^{2}}},t\epsilon (0;\sqrt{2}]$$f(t)=2^{t}-2^{\sqrt{2-t^{2}}},t\epsilon (0;\sqrt{2}]\Rightarrow f'(t)=2^{t}.ln2+2^{\sqrt{2-t^{2}}}.\frac{t}{\sqrt{2-t^{2}}}ln2>0$

$\Rightarrow x=y$

$\Rightarrow 2^{x}+2^{\sqrt{2-x^{2}}}=4$

xét hàm số $g(x)=2^{x}+2^{\sqrt{2-x^{2}}},x\epsilon (0;\sqrt{2}]$

$\Rightarrow maxg(x)=g(1)=4$

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất $x=y=1$



#5
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Hình như cách này hơi lạ:

Hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\log _2(4-2^x)=\sqrt{2-y^2} & & \\ \log_2(4-2^y)=\sqrt{2-x^2} & & \end{matrix}\right.$

Thay lại vào hệ ta được: $\left\{\begin{matrix}2^x+2^{\log_2(4-2^x)}=4 & & \\ 2^y+2^{\log_2(4-2^y)}=4 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x+2^{2-x}=4 & & \\ 2^y+2^{2-y}=4 & & \end{matrix}\right.$ $ \Leftrightarrow 2^x=2^y=2\Leftrightarrow x=y=1$ (thỏa điều kiện)

Vậy (1;1) là nghiệm duy nhất của hệ.

 

P/s: cách này sai ở đâu ?



#6
hungnp

hungnp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

$\left\{\begin{matrix} 2^x+2^{\sqrt{2-y^2}}=4
 &  & \\ 2^y+2^{\sqrt{2-x^2}}=4
 &  &
\end{matrix}\right.$

ĐK: $|x|\leq \sqrt{2},|y|\leq \sqrt{2}$


Mà $f'(t)=2^t.\ln2+2^{\sqrt{2-t^2}}.\ln2.\frac{t}{\sqrt{2-t^2}}>0$ với mọi $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

Lấy máy tính thử với $x=-1$ thấy kết quả đạo hàm $f'(-1)=-1,039720771$

Một phép thử đơn giản.



#7
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Lấy máy tính thử với $x=-1$ thấy kết quả đạo hàm $f'(-1)=-1,039720771$

Một phép thử đơn giản.

Spam tí: Mình đâu có nói mình đúng đâu..



#8
hungnp

hungnp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Hình như cách này hơi lạ:

Hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\log _2(4-2^x)=\sqrt{2-y^2} & & \\ \log_2(4-2^y)=\sqrt{2-x^2} & & \end{matrix}\right.$

Thay lại vào hệ ta được: $\left\{\begin{matrix}2^x+2^{\log_2(4-2^x)}=4 & & \\ 2^y+2^{\log_2(4-2^y)}=4 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x+2^{2-x}=4 & & \\ 2^y+2^{2-y}=4 & & \end{matrix}\right.$ $ \Leftrightarrow 2^x=2^y=2\Leftrightarrow x=y=1$ (thỏa điều kiện)

Vậy (1;1) là nghiệm duy nhất của hệ.

 

P/s: cách này sai ở đâu ?

Sai ở bước này: $$\left\{\begin{matrix}2^x+2^{\log_2(4-2^x)}=4 & & \\ 2^y+2^{\log_2(4-2^y)}=4 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x+2^{2-x}=4 & & \\ 2^y+2^{2-y}=4 & & \end{matrix}\right.$$

 

Vì $2^{\log_2(4-2^x)}=4-2^x$ chứ không bằng $2^{2-x}$.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh