Đến nội dung

Hình ảnh

$ (a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1) \le 8 $

* * * * - 6 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 45 trả lời

#1
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Chào các bạn, BĐT là một mảng đề tài rất hay và được nhiều người tìm hiểu.Mình cũng muốn tìm hiẻu thêm về BĐT.

Chúng ta bắt đầu bài đầu tiên:

Bài tâp1:Chứng minh rằng:       $$ (a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1) \le 8 $$

trong đó $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn:$ ab+bc+ca=abc$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-09-2013 - 21:04

:lol:Thuận :lol:

#2
nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Bài 2

Cho $a_{1},a_{2},...,a_{k}$ là các số thực dương thỏa $a_{1}a_{2}...a_{k}=\alpha$. Chứng minh rằng:

$a_{1}+a_{2}+...+a_{k}\geq \alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+...+\alpha _{j}p_{j}$

Biết rằng $\alpha =p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{j}^{\alpha_{j}}$ và $p_{i}$ là các số nguyên tố



#3
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Bài3 Cho m là số nguyên lớn hơn 4.Tìm GTLN vàGTNN của biểu thức 

$ab^{m-1}+a^{m-1}b$     trong đó a,b là các số thoả mãn a+b=1 và$0\leq a,b\leq \frac{m-2}{m}$


:lol:Thuận :lol:

#4
nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Bài 4

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương có tổng là $3$. Chứng minh rằng:

$18\sum_{cyc}\frac{1}{(3-c)(4-c)}+2(ab+bc+ca)\geq 15$


  • LNH yêu thích

#5
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Bài 4

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương có tổng là $3$. Chứng minh rằng:

$18\sum_{cyc}\frac{1}{(3-c)(4-c)}+2(ab+bc+ca)\geq 15$

$ 18\sum_{\text{cyc}}\frac{1}{(3-c)(4-c)}+2(ab+bc+ca)-15=\sum_{cyc}\left(\frac{1}{(3-a)(4-a)}+3-a^2-5\right)= $

$ =\sum_{cyc}\frac{(a-1)(-a^3+6a^2-8a+6)}{a^2-7a+12}=\sum_{cyc}\left(\frac{(a-1)(-a^3+6a^2-8a+6)}{a^2-7a+12}-\frac{a-1}{2}\right)= $

$ =\sum_{cyc}\frac{a(9-2a)(a-1)^2}{2(3-a)(4-a)}\geq0 $



#6
nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Bài 5

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}$


  • LNH yêu thích

#7
nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết

Bài 5

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}$

http://diendantoanho...geq-sqrta2acc2/



#8
nhatduy01

nhatduy01

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết

Bài 6

    Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$.CMR

                    $\frac{1}{a+\sqrt{3a+1}}+\frac{1}{b+\sqrt{3b+1}}+\frac{1}{c+\sqrt{3c+1}}\leq 1$

Bài 7

    Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$,ta có

                    $(a^{2}+b^{2})^{2}\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)$

Bài 8

     Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.CMR với mọi $k>0$,ta có

                     $(b+c)\sqrt[k]{\frac{bc+1}{a^{2}+1}}+(c+a)\sqrt[k]{\frac{ca+1}{b^{2}+1}}+(a+b)\sqrt[k]{\frac{ab+1}{c^{2}+1}}\geq 6$   


  • LNH yêu thích

#9
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Bài 6

    Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$.CMR

                    $\frac{1}{a+\sqrt{3a+1}}+\frac{1}{b+\sqrt{3b+1}}+\frac{1}{c+\sqrt{3c+1}}\leq 1$

Bài 7

    Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$,ta có

                    $(a^{2}+b^{2})^{2}\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)$

Bài 8

     Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.CMR với mọi $k>0$,ta có

                     $(b+c)\sqrt[k]{\frac{bc+1}{a^{2}+1}}+(c+a)\sqrt[k]{\frac{ca+1}{b^{2}+1}}+(a+b)\sqrt[k]{\frac{ab+1}{c^{2}+1}}\geq 6$   

bài 7 ở vế trái có thiếu $c$ không bạn 


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#10
nhatduy01

nhatduy01

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết

bài 7 ở vế trái có thiếu $c$ không bạn 

Hình như là không có c ở vế trái đâu bạn ạ.



#11
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Baif9  Với n số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ thỏa mãn$\sum_{i=1}^{n}\prod_{k=1,k\neq i}^{n}a_{k}\leq 1$  CMR

 

                       

 

 

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\prod_{k=1,k\neq i}^{n}a_{k}}\geq n+\frac{2}{n-1}\sum_{i< j;i,j=1}^{n}\sqrt{\frac{1-\prod_{k\neq i}^{.} a_{k}-\prod_{k\neq j}^{.}a_{k}}{\prod_{k\neq i}^{.}a_{k}\prod_{k\neq j}^{.}a_{k}}+1}$ :icon10:


  • LNH yêu thích
:lol:Thuận :lol:

#12
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Bài 10 Xét phương trình $ax^{3}-x^{2}+bx-1=0$ với a,b,c là các số thực ,a khác 0 và a khác b sao cho các nghiệm đều là số thực dương .Tìm GTNN của

                                                                $P=\frac{5a^{2}-3ab+2}{a^{2}\left ( b-a \right )}$ :(


:lol:Thuận :lol:

#13
nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết

Bài 6

    Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$.CMR

                    $\frac{1}{a+\sqrt{3a+1}}+\frac{1}{b+\sqrt{3b+1}}+\frac{1}{c+\sqrt{3c+1}}\leq 1$

Bài 7

    Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$,ta có

                    $(a^{2}+b^{2})^{2}\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)$

Bài 8

     Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.CMR với mọi $k>0$,ta có

                     $(b+c)\sqrt[k]{\frac{bc+1}{a^{2}+1}}+(c+a)\sqrt[k]{\frac{ca+1}{b^{2}+1}}+(a+b)\sqrt[k]{\frac{ab+1}{c^{2}+1}}\geq 6$   

Bài 7: Ta có

$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b+c)=((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2)\leq \frac{(2a^2+2b^2)^2}{4}=(a^2+b^2)^2$

Q.E.D

Bài 8: dùng AM-GM rồi biến đổi



#14
nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết

Bài 11: Cho x,y,z,t $\in \mathbb{R}$ m,n>0 C/m

$x^2+my^2+z^2+nt^2 \geq \sqrt{\frac{2mn}{m+n}}(xy+yz+zt+tx)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenqn1998: 17-09-2013 - 18:30


#15
nhatquangsin

nhatquangsin

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Bài 6

    Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $abc=1$.CMR

                    $\frac{1}{a+\sqrt{3a+1}}+\frac{1}{b+\sqrt{3b+1}}+\frac{1}{c+\sqrt{3c+1}}\leq 1$

bài 6 là dấu lớn hơn hoặc bằng chứ nhỉ



#16
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Bài 12: $x,y,z$ là 3 số thực phân biệt. CMR:

$\sum \left ( \frac{a-b}{b-c} \right )^2>\sum \frac{a+b}{b+c}$



#17
thanhdotk14

thanhdotk14

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 268 Bài viết


Bài 12: $x,y,z$ là 3 số thực phân biệt. CMR:

$\sum \left ( \frac{a-b}{b-c} \right )^2>\sum \frac{a+b}{b+c}(1)$

Bài giải:

Đặt $(a+b;b+c;c+a)\to (x;y;z)$ ($x\ne y\ne z\ne 0$)

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{x-y+z}{2} & & \\ b=\frac{x+y-z}{2} & & \\ c=\frac{-x+y+z}{2} & & \end{matrix}\right.$

Từ đó, $(1)$ được viết lại thành: $$\sum \left(\frac{z-y}{x-z}\right)^2\ge \sum \frac{x}{y}(2)$$

Lại có: $$\left(\frac{z-y}{x-z}\right)^2-\frac{x}{y}=\frac{(y-x)(y-z)(y-z+x)}{y(x-z)^2}-\frac{x(x-y)(x-z)}{y(x-z)^2}$$

Do đó: $(2)$ được viết lại thành:$$\sum \frac{(y-x)(y-z)(y-z+x)}{y(x-z)^2}-\sum \frac{x(x-y)(x-z)}{y(x-z)^2}>0$$

$$\Leftrightarrow \sum (x-y)(x-z)\left[\frac{x-y+z}{x(z-y)^2}-\frac{x}{y(x-z)^2}\right]>0$$

$$\Leftrightarrow A(x-y)(x-z)+B(y-x)(y-z)+C(z-x)(z-y)>0$$

Với $A=\frac{x-y+z}{x(z-y)^2}-\frac{x}{y(x-z)^2}, B=..., C=...$  :icon6:  :icon6:  :icon6:

Giả sử $(x;y;z)$ đơn điệu thì $(A;B;C)$ cũng đơn điệu (Tự suy ra nha, lười gõ quá)  >:)  >:)  >:)

Từ đó áp dụng bất đẳng thức schur suy rộng ta có ngay đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 19-09-2013 - 16:04

-----------------------------------------------------

 

:ukliam2: Untitled1_zps6cf4d69d.jpg :ukliam2:


#18
nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết

Cho a,b,c>0 CMR:

$\sum\frac{a(b+c)^2}{2a+b+c}\geq \sqrt{3abc(a+b+c)}$



#19
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

bạn Nguyên nên đánh dấu số bài.

 

 

Bài 14: Cho ba số a,b,c không âm.CMR

 

$\sum \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+\left ( b+c \right )^{3}}}\geq 1$


:lol:Thuận :lol:

#20
nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết

bạn Nguyên nên đánh dấu số bài.

 

 

Bài 14: Cho ba số a,b,c không âm.CMR

 

$\sum \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+\left ( b+c \right )^{3}}}\geq 1$

Ta có 

$\sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3)}}=\sum\frac{a^2}{\sqrt{a^4+a(b+c)^3)}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum\sqrt{a^4+a(b+c)^3}}$

Bất đẳng thức cần c/m tương đương 

$(a+b+c)^4\geq \sum a^4+a(b+c)^3=a^4+b^4+c^3+\sum ab(a^2+b^2)+6abc(a+b+c)$

khai triển (a+b+c)^4 rút gọn và áp dụng bất đẳng thức AM-GM 3 số và AM-GM có dạng (ab+bc+ca)^3$\geq$3abc(a+b+c) ta được dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenqn1998: 06-10-2013 - 11:44





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh