Bài 12: $x,y,z$ là 3 số thực phân biệt. CMR:
$\sum \left ( \frac{a-b}{b-c} \right )^2>\sum \frac{a+b}{b+c}(1)$
Bài giải:
Đặt $(a+b;b+c;c+a)\to (x;y;z)$ ($x\ne y\ne z\ne 0$)
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{x-y+z}{2} & & \\ b=\frac{x+y-z}{2} & & \\ c=\frac{-x+y+z}{2} & & \end{matrix}\right.$
Từ đó, $(1)$ được viết lại thành: $$\sum \left(\frac{z-y}{x-z}\right)^2\ge \sum \frac{x}{y}(2)$$
Lại có: $$\left(\frac{z-y}{x-z}\right)^2-\frac{x}{y}=\frac{(y-x)(y-z)(y-z+x)}{y(x-z)^2}-\frac{x(x-y)(x-z)}{y(x-z)^2}$$
Do đó: $(2)$ được viết lại thành:$$\sum \frac{(y-x)(y-z)(y-z+x)}{y(x-z)^2}-\sum \frac{x(x-y)(x-z)}{y(x-z)^2}>0$$
$$\Leftrightarrow \sum (x-y)(x-z)\left[\frac{x-y+z}{x(z-y)^2}-\frac{x}{y(x-z)^2}\right]>0$$
$$\Leftrightarrow A(x-y)(x-z)+B(y-x)(y-z)+C(z-x)(z-y)>0$$
Với $A=\frac{x-y+z}{x(z-y)^2}-\frac{x}{y(x-z)^2}, B=..., C=...$
Giả sử $(x;y;z)$ đơn điệu thì $(A;B;C)$ cũng đơn điệu (Tự suy ra nha, lười gõ quá)
Từ đó áp dụng bất đẳng thức schur suy rộng ta có ngay đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 19-09-2013 - 16:04