Chủ đề này có 45 trả lời

[nguyenqn1998]

Bài 21: Giả sử a,b,c là ba cạnh của một tam giác .cmr $\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}\geq \frac{3}{2}$

mình làm lại bài này (1 cách hơi xấu). Bạn quang giải sai rồi:

áp dụng holder:

$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}\right)^2\sum_{cyc}a(a^2+3bc)\geq(a+b+c)^3$

ta cần c/m: $4(a+b+c)^3\geq9\sum_{cyc}(a^3+3abc)$

đặt $a=x+y,b=x+z,c=z+x$

thì bất đẳng thức cần c/m tuơng đương:

$\sum_{cyc}(7x^3-6x^2y-6x^2z+5xyz)\geq0$

do theo bdt schur: $\sum_{cyc}(x^3-x^2y-x^2z+xyz)\geq0$

và theo bdt AM-GM: $\sum_{cyc}(x^2y+x^2z-2xyz)\geq0$

=> dpcm 

[thuan192]

mình làm lại bài này (1 cách hơi xấu). Bạn quang giải sai rồi:

áp dụng holder:

$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3bc}}\right)^2\sum_{cyc}a(a^2+3bc)\geq(a+b+c)^3$

ta cần c/m: $4(a+b+c)^3\geq9\sum_{cyc}(a^3+3abc)$

đặt $a=x+y,b=x+z,c=z+x$

thì bất đẳng thức cần c/m tuơng đương:

$\sum_{cyc}(7x^3-6x^2y-6x^2z+5xyz)\geq0$

do theo bdt schur: $\sum_{cyc}(x^3-x^2y-x^2z+xyz)\geq0$

và theo bdt AM-GM: $\sum_{cyc}(x^2y+x^2z-2xyz)\geq0$

=> dpcm 

Bạn có thể giải bài này bằng Cauchy-Schwarz không?????/

[nguyenqn1998]

Bạn có thể giải bài này bằng Cauchy-Schwarz không?????/

chưa nghĩ tới cái đó. Nhưng mà có 1 cách dc rồi

[LNH]

Bài 22: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a+b}{\sqrt{3ab+c^2}}\geq 3$

[Luffy 97]

Bài 23:

Cho các số nguyên $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ lớn hơn 1 và có tổng bằng 2013.

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\sum_{i=1}^{n}\sqrt[a_i]{a_i}$

[Le Thi Van Anh]

Cho a,b,c>0 thoả mãn: abc=1. C/m:

 

$\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}$+$\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}$+$\frac{c}{(ac+c+1)^{2}}$$\geq$$\frac{4}{a+b+c}$