Chủ đề này có 3 trả lời

[tmtd]

Tìm GTLN, GTNN: $M=\frac{1}{2+cos2A}+\frac{1}{2+cos2B}+\frac{1}{2-cos2C}$ (A, B, C là góc của tam giac)

[LzuTao]

Tìm GTLN, GTNN: $M=\frac{1}{2+cos2A}+\frac{1}{2+cos2B}+\frac{1}{2-cos2C}$ (A, B, C là góc của tam giac)

TRƯỚC HẾT. KHÔNG CÓ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA $M$ VÌ $M\le \frac{1}{2-1}+\frac{1}{2-1}+\frac{1}{2-1}=3$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\cos2A=\cos2B=-1\\\cos2C=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A=B=90\\ C=0\end{matrix}\right., \qquad \mathrm{vô lý}$

VỀ GTNN, áp dụng AM-GM, ta được:

$M=\frac{1}{2+\cos2A}+\frac{1}{2+\cos2B}+\frac{1}{2-\cos2C}\ge \frac{9}{6+2\cos(A+B)\cos(A-B)+1-2\cos^2C}\\\ge \frac{9}{7+2\cos C-2\cos^2C}\ge \frac{9}{\frac{15}{2}}=\frac{6}{5}$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A=B\\\cos C=-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}A=B=30^{\circ}\\ C=120^{\circ}\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 09-08-2015 - 12:29

[Bonjour]

 

$cos(A+B)cos(A-B)\geq cos(A+B)=-cosC$ mà 

[LzuTao]

$cos(A+B)cos(A-B)\geq cos(A+B)=-cosC$ mà 

Đính chính

Ta phải chứng minh \begin{align*}& \frac{9}{6+2\cos(A+B)\cos(A-B)+1-2\cos^2C}\ge \frac9{\frac{15}2}\\\iff & 7-2\cos C\cos(A-B)-2\cos^2C\le\frac{15}{2}\\\iff& 4\cos C\cos(A-B)+4\cos^2C+1\ge 0\\\iff& \left [ 2\cos C+\cos(A-B) \right ]^2+\sin^2(A-B)\ge0\text{ (luôn đúng )}\end{align*}

 

Vậy ta có $M\ge\frac9{\frac{15}2}=\frac65$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 28-08-2015 - 20:42