Chủ đề này có 2 trả lời

[tmtd]

Tính $P=C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{n}+...+nC_{n}^{n}$

[Mrnhan]

Tính $P=C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{n}+...+nC_{n}^{n}$

Hình như đề bạn bị nhầm: 

$P=C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+...+nC_{n}^{n}=\sum_{i=1}^{n}iC_{n}^i$

Xét khai triển: $(1+x)^n=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^i$

Đạo hàm 2 vế theo x rồi thay x=1, ta được: $n(1+x)^{n-1}=\sum_{i=1}^{n}iC_{n}^ix^{i-1}\to n2^{n-1}=\sum_{i=1}^{n}iC_{n}^i$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr nhan: 02-09-2013 - 23:19

[phanducnhatminh]

           $2^{n-1}=(1+1)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}C_{n}^{k}$ (nhị thức newton).

Giải bài toán bằng 2 cách: Cho n người chọn ra k người trong đó có 1 người làm đội trưởng.(k chạy từ 1 đến n)

    *Chọn k người trước : -Có $C_{n}^{k}$ cách chọn k người từ n người.

                                       -Chọn đội trưởng : có k cách chọn đội trưởng

             => Theo quy tắc nhân có $k.C_{n}^{k}$ cách chọn

                  VÌ k chạy từ 1 đến n => Số cách chọn :$\sum_{k=1}^{n}kC_{n}^{k}$ = P  (1)

    *Chọn đội trưởng trước: -Có n cách chọn đội trưởng từ n người.

                                           -Có $\sum_{k=1}^{n}kC_{n}^{k-1}$=$sum_{k=0}^{n-1}C_{n}^{k}$= $2^{n-1}$

                                                  cách chọn k-1 người từ n người.

             =>Theo quy tắc nhân có $n.2^{n-1}$ cách chọn.    (2)

Từ (1) và (2) suy ra P=$n.2^{n-1}$