Chủ đề này có 2 trả lời

[akaipro]

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} x^3(4y^2+1)+ 2(x^2+1)\sqrt{x}=6\\ x^2y(2+2\sqrt{4y^2+1})=x+\sqrt{x^2+1} \end{matrix}\right.$

[river881996]

chia cả vế pt 2 với x^2 rồi dùng hàm số bạn ạ

[hungnp]

Mặc dù bạn river... đã hướng dẫn cách làm ở trên nhưng tôi cũng trình bày chi tiết lời giải vì tôi thấy đề bài này khá hay.

 

ĐK: $x\geq 0$. Từ pt(1) ta suy ra $x=0$ không là nghiệm của hệ phương trình vậy nên $x$ phải dương. Từ pt(2) suy ra:

$$y=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x^2\left(2+2\sqrt{4y^2+1}\right)}$$

nên $y$ cũng phải dương.

 

Chia 2 vế của pt(2) cho $x^2$ ta được:

$$2y\left(1+\sqrt{1+(2y)^2}\right)=\frac{1}{x}\left(1+\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\right)$$

$$\Leftrightarrow f(2y)=f(\frac{1}{x})$$

với $f(t)=t\left(1+\sqrt{1+t^2}\right)$ và $t>0$

 

Đạo hàm: $ f'(t)=1+\sqrt{1+t^2}+\frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}>0$ với mọi $t>0$. Hàm số $f(t)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$. Do đó ta có $2y=\frac{1}{x}$ hay $y=\frac{1}{2x}$

 

Pt(1) trở thành: $(x^2+1)(x+2\sqrt{x})=6$   (3)

Nhẩm thấy $x=1$ là nghiệm của pt(3). Việc chứng minh đây là nghiệm duy nhất thì không khó.

 

Vậy hệ pt đề cho có một nghiệm là $\left(1;\frac{1}{2}\right)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungnp: 03-09-2013 - 17:51