Chủ đề này có 8 trả lời

[HungHuynh2508]

Cho a.b.c>0 và a+b+c=3
Chứng minh:

a, $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

b, $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+ac+bc$

[25 minutes]

b, $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+ac+bc$

BĐT $\Leftrightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geqslant 2(ab+bc+ca)=9(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+a^2+b^2+c^2\geqslant 9$

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\geqslant 3a$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[25 minutes]

Cho a.b.c>0 và a+b+c=3
Chứng minh:

a, $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Áp dụng AM-GM ta có bất đẳng thức sau $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

Do đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn sau 

                    $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geqslant a^2+b^2+c^2$

        $\Leftrightarrow a+b+c\geqslant abc(a^2+b^2+c^2)$

        $\Leftrightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leqslant 3$

Đặt $t=ab+bc+ca\Rightarrow t^2\geqslant 3abc(a+b+c)=9abc$

 $\Rightarrow abc\leqslant \frac{t^2}{9}$

Lại có $a^2+b^2+c^2=9-2t$

Áp dụng tiếp AM-GM $\Rightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leqslant \frac{t^2(9-2t)}{9}=\frac{t.t.(9-2t)}{9}\leqslant 3$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[T M]

Bài 1 có thể dùng hàm lõm hoặc phương pháp $UCT$ để chứng minh.

[HungHuynh2508]

Bài 1 có thể dùng hàm lõm hoặc phương pháp $UCT$ để chứng minh.

Cái này đâu có nằm trong phần toán THCS

[VodichIMO]

BĐT $\Leftrightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geqslant 2(ab+bc+ca)=9(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+a^2+b^2+c^2\geqslant 9$

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\geqslant 3a$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

câu này có trong sáng tạo BĐT này.

[laiducthang98]

b, http://diendantoanho...qrtzgeq-xyyzzx/

[nghiemthanhbach]

ta có bđt AM-GM: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

c/m $\frac{1}{ab}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{cb}\geq a^2+c^2+b^2$ là xong

nhớ like tui nha các bạn

[KietLW9]

Cho a.b.c>0 và a+b+c=3
Chứng minh:

a, $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Ta có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$

Ta cần chứng minh: $\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^2=9$

Lại có: $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 6\sqrt{abc}$

$\Rightarrow \frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq \frac{3}{abc}+6\sqrt{abc}=\frac{3}{abc}+3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}\geq 9$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1