1 reply to this topic

[faraanh]

giải hpt sau:

$\left\{\begin{array}{l}(x-1)(y-1)+\frac{4(x+1)(y+1)}{xy}=0\\(x-1)^2+\frac{4(x+1)^2}{x^2}=(y-1)^2+\frac{4(y+1)^2}{y^2}\end{array}\right.$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

ĐK: $x, y \neq 0$

Nhận thấy các giá trị: x = 1, x = -1, y = 1 và y = -1 đều khiến hệ vô nghiệm.

Vì vậy, với $x, y \neq \pm 1$, đặt $a = x - 1, b = y - 1, c = \dfrac{2(x + 1)}{x}, d = \dfrac{2(y + 1)}{y} (a, b, c, d \neq 0)$

Khi đó, ta có:
$\left\{\begin{matrix}ab + cd = 0\\a^2 + c^2 = b^2 + d^2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{a}{c} = \dfrac{-d}{b} = t\\c^2(t^2 + 1) = b^2(t^2 + 1)\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = ct\\d = -bt\\b^2 = c^2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}b = c\\a = -d\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}b = -c\\a = d\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y - 1 = \dfrac{2(x + 1)}{x}\\x - 1 = \dfrac{-2 (y + 1)}{y}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y - 1 = - \dfrac{2(x + 1)}{x}\\x - 1 = \dfrac{2 (y + 1)}{y}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y - \dfrac{2}{x} = 3\\x + \dfrac{2}{y} = -1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y + \dfrac{2}{x} = -1\\x - \dfrac{2}{y} = 3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

Giải các hệ nói trên tìm được 4 cặp nghiệm: $(2; - 2); (-2; 2); \left (-3 ; \dfrac{-1}{3} \right );\left (\dfrac{-1}{3}; -3 \right )$

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 05-09-2013 - 23:19.