Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangtrunghieu22101997]

Bài toán : Giải phương trình hàm: (USA TST 2012)

 

$$f(x+y^2) = f(x) + |yf(y)|$$

 

 

[perfectstrong]

Coi như $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Lời giải:

\[
\forall x,y \in \mathbb{R}:f\left( {x + y^2 } \right) = f\left( x \right) + \left| {yf\left( y \right)} \right|,\left( 1 \right)
\]
Đặt $f(1)=b$.

TH1: $b<0 \Rightarrow |b|=-b$

\[
\begin{array}{l}
 y: = 1,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {x + 1} \right) = f\left( x \right) + \left| {f\left( 1 \right)} \right| = f\left( x \right) - b,\left( 2 \right) \\
 x: = 1,\left( 2 \right) \Rightarrow f\left( 2 \right) = f\left( 1 \right) - b = 0 \\
 \left. \begin{array}{l}
 y: = 2,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {x + 4} \right) = f\left( x \right) + \left| {2f\left( 2 \right)} \right| = f\left( x \right) \\
 \left( 2 \right) \Rightarrow f\left( {x + 4} \right) = f\left( {x + 3} \right) - b = f\left( {x + 2} \right) - 2b = f\left( {x + 1} \right) - 3b = f\left( x \right) - 4b \\
 \end{array} \right\} \\
  \Rightarrow  - 4b = 0 \Rightarrow b = 0: \text{ vô lý}\\
 \end{array}
\]

TH2: $b>0 \Rightarrow |b|= b$

\[
\begin{array}{l}
 x: = 0,y: = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = f\left( 0 \right) + \left| {f\left( 1 \right)} \right| \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0 \\
 x: = 0,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {y^2 } \right) = \left| {yf\left( y \right)} \right|,\forall y,\left( 4 \right) \\
 \left( 1 \right) \Rightarrow \forall x \ge y:f\left( x \right) = f\left( {y + x - y} \right) = f\left( y \right) + \left| {\sqrt {x - y} f\left( {\sqrt {x - y} } \right)} \right| \ge f\left( x \right) \\
  \Rightarrow f: \uparrow knn,\left( 5 \right) \\
 \left( 1 \right),\left( 4 \right) \Rightarrow f\left( {x + y^2 } \right) = f\left( x \right) + f\left( {y^2 } \right),\forall x,y,\left( 6 \right) \\
  \Rightarrow \forall x,y \ge 0:f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right),\left( 7 \right) \\
 \left( 5 \right),\left( 7 \right) \Rightarrow f\left( x \right) = kx,\forall x \ge 0 \\
 \left( 4 \right) \Rightarrow k \ge 0 \\
 \end{array}
\]

Với $x$ bất kì, chọn $y \in \mathbb{R}: y^2+x\ge 0$. Từ (6), ta có:

\[
f\left( x \right) = f\left( {x + y^2 } \right) - f\left( {y^2 } \right) = k\left( {x + y^2 } \right) - ky^2  = kx,\forall x
\]
Thử lại:

\[
\left. \begin{array}{l}
 f\left( {x + y^2 } \right) = k\left( {x + y^2 } \right) \\
 f\left( x \right) + \left| {yf\left( y \right)} \right| = kx + \left| {yky} \right| = k\left( {x + y^2 } \right) \\
 \end{array} \right\} \Rightarrow f\left( {x + y^2 } \right) = f\left( x \right) + \left| {yf\left( y \right)} \right|,\forall x,y
\]
Kết luận: $f(x)=kx\,\forall x \in \mathbb{R}$ với $k$ là hằng số thực không âm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 08-09-2013 - 14:31