Đến nội dung


Hình ảnh

[02]_\[ f(m)+f(n)=f(mn)+f(m+n+mn) \]


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 04-09-2013 - 17:13

Bài toán : Giải phương trình hàm sau : (2013 Japan Final)

 

\[ f(m)+f(n)=f(mn)+f(m+n+mn) \]

 


Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#2 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 04-09-2013 - 18:00

Không có điều kiện của $f$ à bạn

Chắc bạn ghi thiếu đề

Mình bổ sung là $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R}$

Giải như sau

Cho $n=1$ ta được $f(m)+f(1)=f(m)+f(2m+1)\Rightarrow f(m)=f(2m+1)$

Cho $n=-1$ ta được $f(m)+f(-1)=f(-m)+f(-1)\Rightarrow f(m)=f(-m)$

Cho $n=2$ ta được $f(m)+f(2)=f(2m)+f(3m+2)$

Cho $n=-2$ ta được $f(m)+f(-2)=f(-2m)+f(m+2)$

Do đó với $m$ lẻ ta có $f(2m+1)=f(1)$

Với $m$ chẵn bằng quy nạp ta cũng chỉ ra được $f(2m)=f(2)$

Vậy $f(x)=f(1)$(khi $x$ lẻ),$f(x)=f(2)$(khi $x$ chẵn)


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh