Cho $3^{n}+2^{n}$ chia hết cho $n$ nguyên dương và $n>1$ , chứng minh $3^{n}+2^{n}$ chia hết cho $25$
Chứng minh $3^{n}+2^{n}$ chia hết $25$
#1
Đã gửi 05-09-2013 - 22:17
- Zaraki, IloveMaths, barcavodich và 2 người khác yêu thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#2
Đã gửi 06-09-2013 - 18:45
Cho $3^{n}+2^{n}$ chia hết cho $n$ nguyên dương và $n>1$ , chứng minh $3^{n}+2^{n}$ chia hết cho $25$
Gợi ý
Có thể là chứng minh $n\vdots 5$ chăng
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
#3
Đã gửi 06-09-2013 - 19:41
Gợi ý
Có thể là chứng minh $n\vdots 5$ chăng
chứng minh đi anh , đúng hướng rồi đấy
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#4
Đã gửi 06-09-2013 - 23:30
Đầu tiên ta chứng minh $n\vdots 5$.
Ta có $2^n+3^n$ là số lẻ suy ra hiển nhiên $n$ lẻ, gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$, do $(2;p)=1$ nên tồn tại số tự nhiên $a<p$ để $2a\equiv 1\pmod{p}$.
Do $3^{n}+2^{n}\equiv 0\pmod{n}$ nên $3^{n}+2^{n}\equiv 0\pmod{p}$ suy ra $a^{n}.(3^{n}+2^{n})\equiv 0\pmod{p}$
$\Rightarrow (3a)^{n}+1\equiv 0\pmod{p}\Rightarrow (3a)^{n}+1\equiv 0\pmod{p}\Rightarrow (-3a)^{n}\equiv 1\pmod{p}$
Gọi $x=\text{ord}_{p}(-3a)$ ta có $x|n,x|p-1$, nếu $x>1$ thì $x$ có 1 ước nguyên tố $p_1$ nào đó, lúc đó $p_1|n,p_1|p-1\Rightarrow p_1|n,p_1<p$ (Vô lý vì $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$)
Vậy suy ra $x=1$, hay $-3a\equiv 1 \pmod{p}$ suy ra $3a+2a\vdots p$ mà $a\not \vdots p$ (Do $2a\equiv 1\pmod{p}$) nên $5\vdots p$ suy ra $p=5$, vậy $n\vdots 5$.
Mặt khác do $n$ lẻ nên $n$ có dạng $10k+5$, để ý là $2^{10}\equiv 3^{10}\pmod{25}$ nên $2^{10k+5}+3^{10k+5}\equiv 2^{10k}.(2^{5}+3^{5})\vdots 25$.
Kết thúc chứng minh $\blacksquare$
- Zaraki, BlackSelena, Tru09 và 8 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 07-09-2013 - 13:00
Đầu tiên ta chứng minh $n\vdots 5$.
Ta có $2^n+3^n$ là số lẻ suy ra hiển nhiên $n$ lẻ, gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$, do $(2;p)=1$ nên tồn tại số tự nhiên $a<p$ để $2a\equiv 1\pmod{p}$.
Do $3^{n}+2^{n}\equiv 0\pmod{n}$ nên $3^{n}+2^{n}\equiv 0\pmod{p}$ suy ra $a^{n}.(3^{n}+2^{n})\equiv 0\pmod{p}$
$\Rightarrow (3a)^{n}+1\equiv 0\pmod{p}\Rightarrow (3a)^{n}+1\equiv 0\pmod{p}\Rightarrow (-3a)^{n}\equiv 1\pmod{p}$
Gọi $x=\text{ord}_{p}(-3a)$ ta có $x|n,x|p-1$, nếu $x>1$ thì $x$ có 1 ước nguyên tố $p_1$ nào đó, lúc đó $p_1|n,p_1|p-1\Rightarrow p_1|n,p_1<p$ (Vô lý vì $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$)
Vậy suy ra $x=1$, hay $-3a\equiv 1 \pmod{p}$ suy ra $3a+2a\vdots p$ mà $a\not \vdots p$ (Do $2a\equiv 1\pmod{p}$) nên $5\vdots p$ suy ra $p=5$, vậy $n\vdots 5$.
Mặt khác do $n$ lẻ nên $n$ có dạng $10k+5$, để ý là $2^{10}\equiv 3^{10}\pmod{25}$ nên $2^{10k+5}+3^{10k+5}\equiv 2^{10k}.(2^{5}+3^{5})\vdots 25$.
Kết thúc chứng minh $\blacksquare$
ord là gì anh
- AnnieSally và pham thuan thanh thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#6
Đã gửi 07-09-2013 - 13:12
ord là gì anh
$x= \text{ord}_p(-3a)$ tức $x$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $(-3a)^x \equiv 1 \pmod{p}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 07-09-2013 - 13:12
- BlackSelena yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#7
Đã gửi 07-09-2013 - 13:14
$x= \text{ord}_p(-3a)$ tức $x$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $(-3a)^x \equiv 1 \pmod{p}$.
sao không gọi là cấp cho nhanh , hjk , ^^
- AnnieSally và pham thuan thanh thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, đồng dư, chia hết, nghiệm nguyên
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh tích $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 chia hết |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$(3^{n}-1)\vdots 2^{2023}$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 06-02-2024 chia hết |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh