Đến nội dung


Hình ảnh

Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác.C/m:$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 nhox sock tn

nhox sock tn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 195 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Ba Tri, Bến Tre
  • Sở thích:Toán, Lý, Anh

Đã gửi 06-09-2013 - 17:28

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$



#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4261 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 06-09-2013 - 17:33

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

a) Áp dụng BĐT AM-GM ta có $(a+b-c)(b+c-a) \le \frac{[(a+b-c)+(b+c-a)]^2}{4}=b^2$.

Tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.

BĐT vẫn đúng nếu $a,b,c$ là số thực bất kì.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4261 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 06-09-2013 - 17:37

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

Lời giải. b) Áp dụng BĐT AM-GM ta có $\sum \frac{a}{b+c-a} \ge 3 \sqrt[3]{ \frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}} \ge 3$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#4 lovemath99

lovemath99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Toán}$
  • Sở thích:$\textrm{Đọc sách, khoa học viễn tưởng,...}$

Đã gửi 06-09-2013 - 17:39

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

 

a) Theo AM-GM thì:

$(a+b-c)(b+c-a) \le \dfrac{(a+b-c+b+c-a)^2}{4} =b^2$

Thiết lập các bdt tương tự cộng lại ta có dpcm.

b) Đặt $x=b+c-a>0; y=a+c-b>0; z=a+b-c>0 \to a=\dfrac{y+z}{2}; b=\dfrac{x+z}{2}; c=\dfrac{x+y}{2}$, thì bdt cần cm tương đương với:

$\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{x+z}{2y}+\dfrac{x+y}{2z} \ge 3$

$\iff \dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z} \ge 6$

$ \iff (\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y})+(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z})+(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}) \ge 6$

BDT cuối luôn dúng theo AM-GM.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemath99: 06-09-2013 - 17:40


#5 Christian Goldbach

Christian Goldbach

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 351 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên đại học Sư Phạm Hà Nội
  • Sở thích:nhiều lắm!!!

Đã gửi 06-09-2013 - 20:30

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b)

Theo Schwarz ta có:

$\sum \frac{a}{b+c-a}\geq \sum \frac{a^2}{ab+ac-a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+ca+bc)-a^2-b^2-c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{2}{3}(a+b+c)^2-\frac{1}{3}(a+b+c)^2}=3$


Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.

 


#6 HungHuynh2508

HungHuynh2508

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cẩm Xuyên
  • Sở thích:Thậm chí ngay cả trong trò chơi của con trẻ cũng có những điều khiến nhà toán học vĩ đại nhất phải quan tâm.

Đã gửi 06-09-2013 - 20:56

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b, Có thể dùng cách đặt 
$b+c-a=x$

$a+c-b=y$

$a+b-c=z$

nên $a=\frac{y+z}{2}$

$b=\frac{x+z}{2}$

$c=\frac{x+y}{2}$

BĐT tương đương $\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3$

Đến đây dùng AM-GM là xog


Hạnh phúc là cho đi đâu chỉ nhận riêng mình!

7e3c59fbf62d4c5280e6cf2ad53cdcb8.0.gif

#7 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 06-09-2013 - 21:45

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

Áp dụng BĐT AM-GM

Nhân cả 2 vế vs 2

$\Rightarrow \frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}=\frac{a+b+c}{b+c-a}+\frac{a+b+c}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}-3=\left ( a+b+c \right )\left ( \sum \frac{1}{a+b-c} \right )-3\geq 9-3=6$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#8 laiducthang98

laiducthang98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 06-09-2013 - 22:04

a . Cách khác : Ta có :

$a^2\geq a^2-(b-c)^2=(a+b-c)(a+c-b)> 0$

$b^2\geq b^2-(a-c)^2=(b+c-a)(b+a-c)> 0$

$c^2\geq c^2-(a-b)^2=(c+b-a)(c+a-b)> 0$

$=>a^2b^2c^2\geq (b+c-a)^2(c+a-b)^2(a+b-c)^2$

$=>abc\geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$ (đ.f.c.m) 



#9 khanh2711999

khanh2711999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 07-09-2013 - 14:30

a)

 đặt;

a + b - c = x

b + c - a = y

c + a - b = z

$\Rightarrow$ a = $\frac{y+z}{2}$

                       b = $\frac{x+z}{2}$

                       c = $\frac{x+y}{2}$

 

$\Rightarrow$ ta cần chứng minh:

           $xyz \leqslant \frac{x+y}{2}.\frac{y+z}{2}.\frac{z+x}{2}$

 

ta có $\sqrt{xy}\leqslant \frac{x+y}{2}$

          $\sqrt{yz}\leqslant \frac{y+z}{2}$

          $\sqrt{xz}\leqslant \frac{x+z}{2}$

Nhân vào $\Rightarrow$ ta có đpcm

 

b) Đặt

 b + c -a = x

a + c -b = y

a + b -c = z

 

$\Rightarrow$ a = $\frac{y+z}{2}$

                       b = $\frac{x+z}{2}$

                      c = $\frac{x+y}{2}$

$\Rightarrow$ ta cần chứng minh :

 

 $\frac{y+z}{2x}+\frac{x+y}{2z}+\frac{z+x}{2y}\geqslant 3$

$\Leftrightarrow \frac{y+z}{x}+\frac{x+y}{z}+\frac{z+x}{y}\geqslant 6$

$\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{z}+\frac{z+y+x}{y}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow (x+y+z).(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geqslant 9$

 

BĐT trên luôn đúng suy ra có điều phải chứng minh

 

 

 



#10 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{12 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{}}$

Đã gửi 07-06-2015 - 02:22

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

  

Áp dụng BĐT Tam giác . Ta có : $a>\left |b-c \right |\Leftrightarrow a^{2}>(b-c)^{2}<=> a^{2}-(b-c)^{2}\leq a^{2}\Leftrightarrow (a-b+c)(a+b-c)\leq a^{2}$

Các cái sau tương tự => đpcm



#11 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-08-2015 - 16:00

a) Áp dụng BĐT AM-GM ta có $(a+b-c)(b+c-a) \le \frac{[(a+b-c)+(b+c-a)]^2}{4}=b^2$.

Tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.

BĐT vẫn đúng nếu $a,b,c$ là số thực bất kì.

phải là nhân các vế chứ



#12 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 21-08-2015 - 16:15

Bài 1. Bất đẳng thức trên là bất đẳng thức Schur bậc 3.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#13 vinh0105

vinh0105

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM

Đã gửi 03-09-2015 - 03:21

Đặt a = x + y; b = y + z; c = z + x

Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác, nên chứng minh rằng có thể đặt được cách trên bằng các vẽ đường tròn nội tiếp

 

1)

(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) <= abc

 

<--> 2y * 2x * 2z <= (x+y)(y+z)(z+x)

<--> 8xyz <= (x+y)(y+z)(z+x)

 

đúng, vì x + y >= 2 sqrt(xy)

 

2)

a/(b + c - a) + b/(c + a - b) + c/(a + b - c) >= 3

 

<--> (x + y)/(2z) + (y + z)/(2x) + (z + x)/(2y) >= 3

<--> (x/z + z/x) + (y/z + z/y) + (y/x + x/y) >= 6

 

đúng, vì x/z + z/x >= 2


....hoa cười nguyệt rọi cửa lồng gương....
....lạ cảnh buồn thêm nỗi vấn vương....
....tha thướt liễu in hồ gợn sóng....
....hững hờ mai thoảng gió đưa hương....

#14 Gokai Silver

Gokai Silver

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thanh hóa
  • Sở thích:meo

Đã gửi 04-08-2016 - 11:31

cho mình hỏi nếu a,b,c là cạnh của tam giác thì căn a,căn b, căn c cũng tạo thành một tam giác . Câu hỏi này phải cm thế nào ạ 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh