Chủ đề này có 2 trả lời

[tanh]

Giải các hệ phương trình:

$a,\left\{\begin{matrix}2(x^{3}+2x-y-1)=x^{2}(y+1) & \\  y^{3}+4x+1+ln(y^{2}+2x)=0& \end{matrix}\right.$

$b,\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1 & \\ y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1& \end{matrix}\right.$

$c,\left\{ \begin{array}{l} x + \frac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{x^2  - 2x + 9}}}} = x^2  + y \\ y + \frac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{y^2  - 2y + 9}}}} = y^2  + x \\ \end{array} \right.$

 

MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 08-09-2013 - 09:25

[SOYA264]

$b,\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1 & \\ y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1& \end{matrix}\right.$

 

MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé

 

 hệ pt : $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-1+\sqrt{(x-1)^2+1}=3^{y-1} & \\ y-1+\sqrt{(y-1)^2+1}=3^{x-1} & \end{matrix}\right.$

 

Đặt $u=x-1; v=y-1$ hệ trở thành :

 

$\left\{\begin{matrix} u+\sqrt{u^2+1}=3^v & \\ v+\sqrt{v^2+1}=3^u & \end{matrix}\right.$

 

Xét hàm $f(t)=t+\sqrt{t^2+1}$ trên R 

 

$f'(t)=1+ \frac{1}{\sqrt{t^2+1}}> 0,\forall t \in R$

 

Hàm $f(t)$ liên tục đồng biến trên R. 

 

Giả sử $u> v\Rightarrow f(u)> f(v)\Rightarrow 3^v> 3^u\Rightarrow v> u$ (vô lí)

 

Tượng tự $v>u$ cũng dần đến vô lí.

 

Như vậy, chỉ có thể $u=v$ . Khi đó : $u+\sqrt{u^2+1}=3^u\Leftrightarrow 3^u(\sqrt{u^2+1}-1)=1$

 

Lại xét hàm : $g(u)= 3^u(\sqrt{u^2+1}-u)$ trên R

 

$g'(u)= 3^u.\ln3(\sqrt{u^2+1}-u)+3^u(\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}-1)$

 

$=3^u(\sqrt{u^2+1}-u)(\ln3-\frac{1}{\sqrt{u^2+1}})> 0,\forall u\in R$

 

Hàm $g(u)$ liên tục đồng biến trên R

 

Lại có: $g(0)=1$ nên $u=0$ là nghiệm duy nhất.

 

Khi đó $x=y=1$ Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm $(x;y)=(1;1)$

 

 

 

$c,\left\{ \begin{array}{l} x + \frac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{x^2  - 2x + 9}}}} = x^2  + y \\ y + \frac{{2xy}}{{\sqrt[3]{{y^2  - 2y + 9}}}} = y^2  + x \\ \end{array} \right.$

 

MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé 

 

Ta có : $\sqrt[3]{x^2-2x+9}=\sqrt[3]{(x-1)^2+8}\geq \sqrt[3]{8}=2$

 

$\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}\leq \frac{2xy}{2}=xy$

 

Tương tự : $\Rightarrow \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}\leq \frac{2xy}{2}=xy$

 

Cộng  vế theo vế 2 pt, ta được : 

 

$\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=x^2+y^2\geq xy+xy=2xy$

 

Dấu $ "="$ xảy ra khi $x=y=1$

 

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(1;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 08-09-2013 - 10:32

[Mrnhan]

 

Giải các hệ phương trình:

$a,\left\{\begin{matrix}2(x^{3}+2x-y-1)=x^{2}(y+1) & \\  y^{3}+4x+1+ln(y^{2}+2x)=0& \end{matrix}\right.$

 

MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé

 

$\left\{\begin{matrix}2(x^{3}+2x-y-1)=x^{2}(y+1) & \\ y^{3}+4x+1+ln(y^{2}+2x)=0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^2+2)(2x-y-1)=0 \\ y^{3}+4x+1+ln(y^{2}+2x)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1+y}{2} \\ y^3+2y+3+ln(y^2+y+1)=0 \end{matrix}\right.$

Xét hàm số:

$f(y)=y^3+2y+3+ln(y^2+y+1)\to f'(y)=3y^2+2+\frac{2y+1}{y^2+y+1}=3y^2+\frac{2(y+1)^2+1}{y^2+y+1}>0\forall y$

$\to x=0,\:y=-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr nhan: 08-09-2013 - 15:30