Đến nội dung

Hình ảnh

Sử dụng hàm số để tìm cực trị và giải bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1
datanhlg

datanhlg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Ví dụ 1: Cho $x,y\in R$ thỏa $\left\{\begin{matrix} 2y\geqslant x^{2} &\\y\leqslant 2x^{^{2}}+3x & \end{matrix}\right.$ (I). CMR: $x^{2}+y^{2}\leq 2$.

Bước giải: Từ (I) ta có:

$x^{2}\leqslant 2y\leqslant -4^{2}+6x \Leftrightarrow 0\leqslant x\leqslant \frac{6}{5}=D$

Từ đề bài:

$x^{2}+y^{2}\leqslant x^{2}+(-2x^{2}+3x)^{2}\leq 4x^{4}-12x^{3}+10x^{2},\forall x\epsilon \mathbf{D}$

Xét: $f(x)=4x^{4}-12x^{3}+10x^{2}$

f'(x) = $16x^{3}-36x^{2}+20x = 0$

$\Leftrightarrow \left [\begin{matrix} x = 0 & & \\ x= \frac{5}{4}& & \\ x= 1 & & \end{matrix}$

Lập bảng biến thiên, ta thấy f(x) = 2 là GTLN của hàm số => đpcm

 

Ví dụ 2: Tìm Maxy, Miny với y = $\frac{x^{3}+x^{2}+x}{(x^{2}+1)^{2}}$

Bước giải:

MXĐ: D=R, ta có: y = $(\frac{x}{x^{2}+1})^{2}+\frac{x}{x^{2}+1}$

Đặt t = $\frac{x}{x^{2}+1}; t\in [\frac{-1}{2},\frac{1}2{}]$

Xét f(t) = $ \frac{t}{t^{2}+1}$, $t\in [\frac{-1}{2},\frac{1}2{}]$

f'(t) = 2t+1 = 0 => t = $\frac{-1}{2}$

Lập bảng biến thiên, ta thấy t = $\frac{-1}{4}$ là GTNN và t = $\frac{1}{2}$ là GTLN.

Từ đó => Maxy, Miny

 

Ví dụ 3: Tìm Maxy, y = $\sqrt{3+2x-x^{2}} +(x-1)^{2}-3$

Bước giải:

MXĐ: D=T

Đặt t = $(x-1)^{2}$; $t\in [0;4]=D_{1}$

=>f(t) = $\sqrt{4-t}+t-3$

f'(t) = $\frac{2\sqrt{4-t}-1}{2\sqrt{4-t}}$ = 0 $\Leftrightarrow t=\frac{15}{4}$

Có f(0); f(4); f($\frac{15}{4}$) => Maxy

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datanhlg: 10-09-2013 - 22:29





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh