Chủ đề này có 1 trả lời

[nhatduy01]

Giải hệ phương trình 

                                      $\left\{\begin{matrix} (2012-3x)\sqrt{4-x}+(6y-2009)\sqrt{3-2y}=0 & & \\ 2\sqrt{7x-8y}+3\sqrt{14x-18y}=x^{2}+6x+13 & & \end{matrix}\right.$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

ĐK: $x \leq 4; y \leq \dfrac{3}{2}; x \geq \dfrac{8y}{7}$ và $x \geq \dfrac{9y}{7}$

Đặt $\sqrt{4 - x} = a; \sqrt{3 – 2y} = b \, (a, b \geq 0)$

Phương trình (1) của hệ tương đương:
$(2000 + 3a^2)a - (2000 + 3b^2)b = 0 \Leftrightarrow 3(a^3 - b^3) + 2000(a - b) = 0$

$\Leftrightarrow (a - b)\left [3(a^2 + ab + b^2) + 2000\right ] = 0 \Leftrightarrow a = b \Rightarrow 2y = x - 1$

 

Thế $2y = x - 1$ vào phương trình (2) của hệ, ta được:
$$2\sqrt{3x + 4} + 3\sqrt{5x + 9} = x^2 + 6x + 13$$

Với điều kiện $x \geq \dfrac{-4}{3}$, phương trình trên tương đương:

$x^2 + x + 2\left (x + 2 - \sqrt{3x + 4}\right ) + 3\left (x + 3 - \sqrt{5x + 9}\right ) = 0$

$\Leftrightarrow x^2 + x + \dfrac{2(x^2 + x)}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3(x^2 + x)}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}} = 0$

 

$\Leftrightarrow (x^2 + x)\left ( 1 + \dfrac{2}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}}\right ) = 0$

Do $x \geq \dfrac{-4}{3} \Rightarrow 1 + \dfrac{2}{x + 2 + \sqrt{3x + 4}} + \dfrac{3}{x + 3 + \sqrt{5x + 9}} > 0$

 

Vậy $x^2 + x = 0 \Rightarrow \left[\begin{matrix}x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{-1}{2}\\x = -1 \Rightarrow y = -1\end{matrix}\right.$