2 replies to this topic

[Alexman113]

Giải phương trình: $$\left(8\cos^3x+1\right)^3=162\cos x-27$$

 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Đặt $\cos{x} = t \, (-1 \leq t \leq 1)$, phương trình trở thành:
$(8t^3 + 1)^3 = 27(6t - 1) \Leftrightarrow 8t^3 + 1 = 3\sqrt[3]{6t - 1} \, (1)$

Đặt $\sqrt[3]{6t - 1} = 2u$, kết hợp với (1), ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix}8u^3 + 1 = 6t\\8t^3 + 1 = 6u\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}8(u^3 - t^3) = 6(t - u)\\8t^3 + 1 = 6u\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2(u - t)\left [ 4(u^2 + ut + t^2) + 3\right ] = 0\\8t^3 + 1 = 6u\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}u = t\\4(u^2 + ut + t^2) + 3 = 0 \, (VN)\end{matrix}\right.\\8t^3 + 1 = 6u\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u = t\\8t^3 + 1 = 6t\end{matrix}\right. \Rightarrow 8\cos^3{x} - 6\cos{x} = -1 \Leftrightarrow \cos{3x} = \dfrac{-1}{2}$

Còn lại bạn tự làm nhé.

 

 

[tuuu123]

Đến (1) thì có cách đỡ dài hơn là  đặt luôn $\sqrt[3]{6t-1}=2cosu$ suy ra $cos3u=1/2$

Edited by tuuu123, 14-09-2013 - 21:42.