Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
shinichikudo201

shinichikudo201

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Chứng minh với mọi a; b; c > 0 thì

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

Mình đang học lớp 8 nhé. 

Thanks


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 12-09-2013 - 22:59

It is the quality of one's convictions that determines successnot the number of followers


#2
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

==

lớp 8 muốn giải cái này ngồi bó tay à

cái này áp dụng cauchy hay sao ý nhỉ, để mình coi lại :))



#3
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Chứng minh với mọi a; b; c > 0 thì

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

Mình đang học lớp 8 nhé. 

Thanks

Ta có : $\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq 3\sqrt[4]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\geq 3\sqrt[4]{\frac{8abc}{abc}}=3\sqrt{2}$

mà $\sum 2\sqrt{\frac{a}{c+b}}\leq 3\sqrt{2}$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#4
Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết

Nó tương tự bài 

$$\sum \frac{b+c}{a} \sum \ge \frac{a}{b+c}$$ thôi mà :)) Khở ra ghép cặp

Còn bài trên thì sử dụng C-S mà khở ra [ $\sqrt{2(a+b}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}$]

________

Đối vs lớp 8 bài này hơi nặng


@@@@@@@@@@@@

#5
shinichikudo201

shinichikudo201

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết

==

lớp 8 muốn giải cái này ngồi bó tay à

cái này áp dụng cauchy hay sao ý nhỉ, để mình coi lại :))

Bó tay sao được. Kiến thức từ lớp 1 đến lớp 10 bạn cứ dùng tự nhiên, mình sẽ hiểu.


It is the quality of one's convictions that determines successnot the number of followers


#6
nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết

cauchy điểm rơi



#7
shinichikudo201

shinichikudo201

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết

Ta có : $\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq 3\sqrt[4]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\geq 3\sqrt[4]{\frac{8abc}{abc}}=3\sqrt{2}$

mà $\sum 2\sqrt{\frac{a}{c+b}}\leq 3\sqrt{2}$

Tại sao $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ hả bạn?


It is the quality of one's convictions that determines successnot the number of followers


#8
shinichikudo201

shinichikudo201

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết

Tại sao $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ hả bạn?

à thôi, mình hiểu rồi


It is the quality of one's convictions that determines successnot the number of followers


#9
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

http://diendantoanho...ab/#entry450387


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#10
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Chứng minh với mọi a; b; c > 0 thì

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

Mình đang học lớp 8 nhé. 

Thanks

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $(\sqrt{\frac{a+b}{c}}-\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{a+b}})+(\sqrt{\frac{b+c}{a}}-\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}})+(\sqrt{\frac{c+a}{b}}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{c+a}})\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}}\geqslant 0$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì $b+c-2a\leqslant c+a-2b\leqslant a+b-2c$ và $\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều $b+c-2a\leqslant c+a-2b\leqslant a+b-2c$ và $\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$, ta được: $3(\frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}})\geqslant (b+c-2c+c+a-2b+a+b-2c)(\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}+ \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}+ \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}})=0$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c$ 


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh