Chủ đề này có 8 trả lời

[shinichikudo201]

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Chứng minh với mọi a;b;c>0 thì:

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks

 

 

 

[Trang Luong]

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Chứng minh với mọi a;b;c>0 thì:

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks

$b+c\geq \frac{1}{2}\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )^2\Rightarrow \sqrt{b+c}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq \frac{\sqrt{2}}{4}\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}} \right )$

$\Rightarrow 2\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sum \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}} \right )\leq \sum \frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{a}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 14-09-2013 - 22:24

[shinichikudo201]

$b+c\geq \frac{1}{2}\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )^2\Rightarrow \sqrt{b+c}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq {\frac{\sqrt{2}}{4}}\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}} \right )$

$\Rightarrow 2\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sum \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}} \right )\leq \sum \frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{a}}$

Hãy cẩn thận hơn khi gõ L_AT^EX bạn nhé

[shinichikudo201]

$b+c\geq \frac{1}{2}\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )^2\Rightarrow \sqrt{b+c}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq \frac{\sqrt{2}}{4}\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}} \right )$

$\Rightarrow 2\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sum \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}} \right )\leq \sum \frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{a}}$

Nếu mình không nhầm thì $a+b\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{4}$ chứ nhỉ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 14-09-2013 - 22:36

[badboykmhd123456]

$b+c\geq \frac{1}{2}\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )^2\Rightarrow \sqrt{b+c}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq \frac{\sqrt{2}}{4}\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}} \right )$

$\Rightarrow 2\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sum \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}} \right )\leq \sum \frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{a}}$

Hình như k đúng.$\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq \sqrt{b+c}$

[shinichikudo201]

Hình như k đúng.$\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq \sqrt{b+c}$

Còn $\frac{\sqrt{2}}{2}$ bạn để đâu rồi??

[shinichikudo201]

$b+c\geq \frac{1}{2}\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )^2\Rightarrow \sqrt{b+c}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq \frac{\sqrt{2}}{4}\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}} \right )$

$\Rightarrow 2\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sum \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}} \right )\leq \sum \frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{a}}$

Mình không hiểu dòng cuối bạn ạ.

[badboykmhd123456]

Còn $\frac{\sqrt{2}}{2}$ bạn để đâu rồi??

đang nói về cái bdt thôi còn $\frac{\sqrt{2}}{2}$ nhân vào khôg ảnh hưởng gì

[KietLW9]

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Chứng minh với mọi a;b;c>0 thì:

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $(\sqrt{\frac{a+b}{c}}-\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{a+b}})+(\sqrt{\frac{b+c}{a}}-\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}})+(\sqrt{\frac{c+a}{b}}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{c+a}})\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}}\geqslant 0$

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì $b+c-2a\leqslant c+a-2b\leqslant a+b-2c$ và $\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều $b+c-2a\leqslant c+a-2b\leqslant a+b-2c$ và $\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}$, ta được: $3(\frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b(c+a)}}+\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}})\geqslant (b+c-2c+c+a-2b+a+b-2c)(\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}+ \frac{1}{\sqrt{b(c+a)}}+ \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}})=0$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c$