Chủ đề này có 10 trả lời

[thukilop]

Trường THPT Chuyên Bắc Quảng Nam

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 13-09-2013

-------------------

 

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=-x^{3}+3x^{2}+mx-2$ đồng biến trong khoảng (0,2)

 

Bài 2:

a) Giải phương trình: $\sqrt{\frac{1+2x\sqrt{1-x^{2}}}{2}}+2x^{2}=1$

b) Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}e^{4y^{2}-x^{2}}= \frac{x^{2}+1}{4y^{2}+1}& \\ 3log_{2}(x+4y+6)= &2log_{2}(x+2y+2)+1  \end{matrix}\right.$

 

 

Bài 3: Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

 $f(x)+x.f(1-x)=x^{2}$

 

Bài 4:

a) Cho $a,b,c >0$ Chứng minh:

 $\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$

b) Giải pt nghiệm nguyên:

$x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=8(x^{2}+xy+y^{2}+1)$

 

Bài 5: Cho dãy $(a_{n})$ biết: $a_{0}=2,a_{1}=2013, a_{n}=2013a_{n-1}-a_{n-2}$

Chứng minh với mọi n luôn tồn tại số tự nhiên m sao cho: $a_{n}.a_{n-2}+4=2013^{2}+m^{2}$

 

Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại L và cắt đường tròn ngoại tiếp $(ABC)$ tại N. Gọi K, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của L lên các cạnh AB, AC. Chứng minh $S_{AKNM}=S_{ABC}$

---Hết---

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 16-09-2013 - 01:10

[Zaraki]

Bài 4:

b) Giải pt nghiệm nguyên:

$x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=8(x^{2}+xy+y^{2}+1) \qquad (1)$

 

Lời giải. Phương trình tương đương với $$(1) \Leftrightarrow (x+y)[(x+y)^2-2xy]= 8[(x+y)^2-xy+1]$$

Đặt $x+y=a,xy=b$ với $a,b \in \mathbb{Z}$ thì phương trình trở thành $a(a^2-2b)=8(a^2-b+1) \Leftrightarrow b(8-2a)=8(a^2+1)-a^3 \qquad (2)$.

Nếu $a=4$ thì $(1) \Leftrightarrow 0b=72$, mâu thuẫn.

Nếu $a \ne 4$ thì $(1) \Rightarrow b= \frac{8a^2+8-a^3}{8-2a}$. Ta có $$b= \frac{4(a^2-16)+72 -a^2(a-4)}{2(4-a)}= -2(a+4)+ \frac{a^2}{2}+ \frac{36}{4-a}$$

Vì $b \in \mathbb{Z}$ nên ta dễ dàng suy ra $2|a$. Do đó $\frac{a^2}{2} \in \mathbb{N}$. Như vậy, để $b \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{36}{4-a} \in \mathbb{Z}$. Đến đây xét trường hợp. (dài kinh  ).

[mystery266]

Bài 2:

a) Giải phương trình: $\sqrt{\frac{1+2x\sqrt{1-x^{2}}}{2}}+2x^{2}=1$

 

lượng giác hoá

 

đặt x=sin t

 

$PT\Leftrightarrow \sqrt{\left (\frac{sin t+ cost}{\sqrt{2}} \right )^2}=cos2t$

 

$PT\Leftrightarrow\begin{vmatrix} cos(t-\frac{\pi}{4}) \end{vmatrix}=cos2t$

 

Phương trình lượng giác cơ bản

[IloveMaths]

 

Trường THPT Chuyên Bắc Quảng Nam

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 13-09-2013

-------------------

 

 

Bài 3: Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

 $f(x)+x.f(1-x)=x^{2}$

 

 

Chém bài dễ nhất     

$f(x)+x.f(1-x)=x^2(*)$

 

Thay x bởi 1-x ta được 

$f(1-x)+(1-x).f(x)$$=(1-x)^2$$\Rightarrow x.f(1-x)+x(1-x).f(x)=x.(1-x)^2(**)$

Trừ theo vế (**) cho (*) ta được :

$f(x).(x-x^2-1)=x(1-x)^2-x^2=x^3-3x^2+x\Rightarrow f(x)=\frac{x^3-3x^2+x}{x-x^2-1}$

 

Thử lại thấy thỏa mãn   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IloveMaths: 16-09-2013 - 16:41

[ongngua97]

 

 

Bài 4:

a) Cho $a,b,c >0$ Chứng minh:

 $\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$

 

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{bc}{a^{2}}}\leq 1$

 

$Đặt \frac{bc}{a^{2}}=x; \frac{ca}{b^{2}}=y; \frac{ab}{c^{2}}=z\Rightarrow  xyz=1$

 

Cần cm $\sum \frac{1}{x+2}\leq 1\Leftrightarrow xy+yz+xz\geq 3$ (luôn đúng)

 

Ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 17-09-2013 - 21:29

[Primary]

b) Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}e^{4y^{2}-x^{2}}= \frac{x^{2}+1}{4y^{2}+1}& \\ 3\log_{2}(x+4y+6)= &2\log_{2}(x+2y+2)+1  \end{matrix}\right.$

 

 

$(1)\Leftrightarrow \frac{e^{4y^2+1}}{e^{x^2+1}}=\frac{x^2+1}{4y^2+1}$  $(*)$

 

Xét hàm số: $f(t)=t.e^t, t>0$  có $f'(t)=e^t>0,\forall t>0$

 

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}^+$

 

Do vậy $(*)\Leftrightarrow x=y$

 

Thay vào pt thứ 2 của hệ ta được : $3\log_2(5x+6)-2\log_2(3x+2)-1=0$

 

Đến đây là đươc rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 16-09-2013 - 21:00

[IloveMaths]

 

Trường THPT Chuyên Bắc Quảng Nam

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 13-09-2013

-------------------

 

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=-x^{3}+3x^{2}+mx-2$ đồng biến trong khoảng (0,2)

 

Bài 4:

a) Cho $a,b,c >0$ Chứng minh:

 $\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$

 

 

Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại L và cắt đường tròn ngoại tiếp $(ABC)$ tại N. Gọi K, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của L lên các cạnh AB, AC. Chứng minh $S_{AKNM}=S_{ABC}$

---Hết---

 

chém thêm mấy bài nữa 

Bài 1:

Dễ thấy y đồng biến khi và chỉ khi -y nghịch biến 

Do đó đặt $-y=f(x)=x^3-3x^2-mx+2$

Ta cần tim m để f(x) nghich biến trong khoảng (0,2).Do đó:

$f'(x)=3x^2-6x-m\leq 0\forall x\epsilon (0,2)$$\Leftrightarrow f(0)\leq 0;f(2)\leq 0\Leftrightarrow m\geq 0$

Vậy với $m\geq 0$ thì hàm số đồng biến với mọi x thuộc khoảng (0,2)

Bài 4:

$Q.E.D\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{bc}{a^2}}\leq 1$

Đặt $\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z\Rightarrow Q.E.D\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{z}{x}}=\sum \frac{x}{2x+z}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{2x}{2x+z}\leq 2\Leftrightarrow \sum \frac{z}{2x+z}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{z^2}{2xz+z^2}\geq 1$  

Bài 6:

Không mất tính tổng quát , giải sử $AC\geq AB$

Kẻ NX,NY lần lượt vuôn góc vơi AB,AC

Do KL song song vơi XN và LM song song vơi NY nên $S_{\Delta AXL}=S_{\Delta AKN};S_{\Delta ANM}=S_{\Delta ALY}$$\Rightarrow S_{ AKNM}=S_{\Delta AXL}+S_{\Delta ALY}=LK.AX(LK=LM;AX=AY)$

Ta có:

$AB+AC=AX-XB+YC+AY=2AX(XB=YC;XA=AY)$

Do đó $LK.AX=LK(\frac{AB+AC}{2})=S_{\Delta ABC}\Rightarrow Q.E.D$

 bài dãy chưa chém được 

cuoi cùng đã xong, dễ thấy $m=a_{n-1}$

Chứng minh quy nạp là O.K  

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IloveMaths: 17-09-2013 - 11:59

[PT42]

Bài 5 Đặt 2013 = A ta có $\left\{\begin{matrix} a_{0} = 2\\a_{1} = A \\a_{n} = Aa_{n - 1} - a_{n - 2} \end{matrix}\right.$

Phương trình đặc trưng : $x^{2} - Ax + 1 = 0$

Vì $A^{2} - 4 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm $x_{1} = \frac{A + \sqrt{A^{2} - 4}}{2}$, $x_{2} = \frac{A - \sqrt{A^{2} - 4}}{2}$ và $\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = A\\x_{1}x_{2} = 1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $a_{n} = \alpha x_{1}^{n} + \beta x_{2}^{n}$ với $\alpha , \beta$ là nghiệm của hệ 

$\left\{\begin{matrix} a_{1} = \alpha . \frac{A + \sqrt{A^{2} - 4}}{2} + \beta . \frac{A - \sqrt{A^{2} - 4}}{2} = A\\ a_{0} = \alpha + \beta = 2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \alpha = \beta = 1$

$\Rightarrow$ Công thức tổng quát của dãy số là $a_{n} = x_{1}^{n} + x_{2}^{n}$

$\Rightarrow a_{n}.a_{n - 2} + 4 - 2013^{2}$

= $(x_{1}^{n} + x_{2}^{n})(x_{1}^{n - 2} + x_{2}^{n - 2}) + 4 - A^{2}$

= $x_{1}^{2n - 2} + x_{2}^{2n - 2} + x_{1}^{n - 2}x_{2}^{n - 2}.(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + 4 - A^{2}$

= $x_{1}^{2n - 2} + x_{2}^{2n - 2} + (x_{1}x_{2})^{n - 2}. ((x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}) + 4 - A^{2}$

= $x_{1}^{2n - 2} + x_{2}^{2n - 2} + 1^{n - 2}. (A^{2} - 2.1) + 4 - A^{2}$

= $x_{1}^{2n - 2} + x_{2}^{2n - 2} + 2$

= $(x_{1}^{n - 1} + x_{2}^{n - 1})^{2}$

= $a_{n - 1}^{2}$ 

 

Ta có $a_{0} = 2, a_{1} = 2013, a_{n} = 2013a_{n - 1} - a_{n - 2}$ nên dùng quy nạp chứng minh được $a_{n} \epsilon \mathbb{Z}\forall n$

Đặt m = $\begin{vmatrix} a_{n - 1} \end{vmatrix}$ ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 17-09-2013 - 17:15

[thukilop]

chém thêm mấy bài nữa 

Bài 1:

Dễ thấy y đồng biến khi và chỉ khi -y nghịch biến 

Do đó đặt $-y=f(x)=x^3-3x^2-mx+2$

Ta cần tim m để f(x) nghich biến trong khoảng (0,2).Do đó:

$f'(x)=3x^2-6x-m\leq 0\forall x\epsilon (0,2)$$\Leftrightarrow f(0)\leq 0;f(2)\leq 0\Leftrightarrow m\geq 0$

Vậy với $m\geq 0$ thì hàm số đồng biến với mọi x thuộc khoảng (0,2)

Bài 4:

$Q.E.D\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{bc}{a^2}}\leq 1$

Đặt $\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z\Rightarrow Q.E.D\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{z}{x}}=\sum \frac{x}{2x+z}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{2x}{2x+z}\leq 2\Leftrightarrow \sum \frac{z}{2x+z}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{z^2}{2xz+z^2}\geq 1$  

Bài 6:

Không mất tính tổng quát , giải sử $AC\geq AB$

Kẻ NX,NY lần lượt vuôn góc vơi AB,AC

Do KL song song vơi XN và LM song song vơi NY nên $S_{\Delta AXL}=S_{\Delta AKN};S_{\Delta ANM}=S_{\Delta ALY}$$\Rightarrow S_{ AKNM}=S_{\Delta AXL}+S_{\Delta ALY}=LK.AX(LK=LM;AX=AY)$

Ta có:

$AB+AC=AX-XB+YC+AY=2AX(XB=YC;XA=AY)$

Do đó $LK.AX=LK(\frac{AB+AC}{2})=S_{\Delta ABC}\Rightarrow Q.E.D$

 bài dãy chưa chém được 

cuoi cùng đã xong, dễ thấy $m=a_{n-1}$

Chứng minh quy nạp là O.K  

 

 

 

@ Ilovemath: đề này mình bỏ câu dãy.... Bài hệ thì có trong đề đề nghị Olympic 30-4 của Quốc Học Huế 2007 rồi

[hieuvipntp]

 

Trường THPT Chuyên Bắc Quảng Nam

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 13-09-2013

-------------------

 

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=-x^{3}+3x^{2}+mx-2$ đồng biến trong khoảng (0,2)

 

Bài 2:

a) Giải phương trình: $\sqrt{\frac{1+2x\sqrt{1-x^{2}}}{2}}+2x^{2}=1$

b) Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}e^{4y^{2}-x^{2}}= \frac{x^{2}+1}{4y^{2}+1}& \\ 3log_{2}(x+4y+6)= &2log_{2}(x+2y+2)+1  \end{matrix}\right.$

 

 

Bài 3: Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa

 $f(x)+x.f(1-x)=x^{2}$

 

Bài 4:

a) Cho $a,b,c >0$ Chứng minh:

 $\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$

b) Giải pt nghiệm nguyên:

$x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=8(x^{2}+xy+y^{2}+1)$

 

Bài 5: Cho dãy $(a_{n})$ biết: $a_{0}=2,a_{1}=2013, a_{n}=2013a_{n-1}-a_{n-2}$

Chứng minh với mọi n luôn tồn tại số tự nhiên m sao cho: $a_{n}.a_{n-2}+4=2013^{2}+m^{2}$

 

Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại L và cắt đường tròn ngoại tiếp $(ABC)$ tại N. Gọi K, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của L lên các cạnh AB, AC. Chứng minh $S_{AKNM}=S_{ABC}$

---Hết---

 

cách khác cho bài bđt

để chứng minh $\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$ thì ta có bđt tương đương

$\frac{bc}{2a^{2}+bc}+\frac{ca}{2b^{2}+ca}+\frac{ab}{c^{2}+ab}\geq 1\Leftrightarrow \frac{(bc+ca+ab)^{2}}{2abc(a+b+c)+(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}}\geq 1$

Mà$(ba+ca+ab)^{2}=2abc(a+b+c)+(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}$$\Rightarrow dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuvipntp: 01-10-2013 - 18:35

[phung0907]

b) Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}e^{4y^{2}-x^{2}}= \frac{x^{2}+1}{4y^{2}+1}& \\ 3\log_{2}(x+4y+6)= &2\log_{2}(x+2y+2)+1  \end{matrix}\right.$

 

 

$(1)\Leftrightarrow \frac{e^{4y^2+1}}{e^{x^2+1}}=\frac{x^2+1}{4y^2+1}$  $(*)$

 

Xét hàm số: $f(t)=t.e^t, t>0$  có $f'(t)=e^t>0,\forall t>0$

 

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}^+$

 

Do vậy $(*)\Leftrightarrow x=y$

 

Thay vào pt thứ 2 của hệ ta được : $3\log_2(5x+6)-2\log_2(3x+2)-1=0$

 

Đến đây là đươc rồi

Chỗ này có vấn đề rồi bạn ơi, phải là x=2y hoặc x=-2y chứ!