Chủ đề này có 1 trả lời

[xxSneezixx]

Cho $a, b, c \in \mathbb{R}$ sao cho $a^{2}+ b^{2} + c^{2}=65$. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn lớn nhất của hàm số $y= a + b\sqrt{2}\sin x+ c\sin{2x}$ trên $\left(0;\frac{\pi}{2} \right )$

[hihi2zz]

Cho $a, b, c \in \mathbb{R}$ sao cho $a^{2}+ b^{2} + c^{2}=65$. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn lớn nhất của hàm số $y= a + b\sqrt{2}\sin x+ c\sin{2x}$ trên $\left(0;\frac{\pi}{2} \right )$

$y^2 \leq (a^2+b^2+c^2)(1+2\sin^2x+\sin^2 2x)=65(1+2\sin^2x+\sin^22x)$

Đặt $f(x)=1+2\sin^2x+\sin^22x=1+2\sin^2x+4\sin^2x.(1-\sin^2x)$$=-4\sin^4x+6\sin^2x+1$

Đặt $\sin^2x=t,t \in (0;1)$

$g(t)=-4t^2+6t+1\rightarrow g'(t)=-8t+6;g'(t)=0\leftrightarrow t=\frac{3}{4}$

$y^2 \leq 65.\frac{13}{4}\rightarrow -13\frac{\sqrt{5}}{2}\leq y \leq 13\frac{\sqrt{5}}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=\frac{\pi}{3}$ và $\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{2}\sin x}{b}=\frac{\sin 2x}{c}\leftrightarrow \frac{1}{a}=\frac{\sqrt{6}}{2b}=\frac{\sqrt{3}}{2c}$

Thay vào $a^2+b^2+c^2=65 \rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\sqrt{5}\\ b=\sqrt{30} \\ c=\sqrt{15} \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} a=-2\sqrt{5}\\ b=-\sqrt{30} \\c= -\sqrt{15} \end{matrix}\right.$

P/S:Mới thấy trong một tài liệu  Hay nhờ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hihi2zz: 20-10-2013 - 19:33