Tìm tất cả các nghiệm dương của $x^2-x-1=2^x-log_2(x^2+2^x)$.
#1
Đã gửi 26-01-2006 - 16:34
#2
Đã gửi 14-11-2012 - 10:47
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với $2^{y}-2^{x}-x-1=2^{x}-y\Leftrightarrow 2^{y}+y=2^{x+1}+x+1$.
Xét hàm $f\left ( t \right )=2^{t}+t\left ( t\in \mathbb{R} \right )$.
Ta có $f'\left ( t \right )=2^{t}ln2+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$, suy ra $f\left ( t \right )$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $y=x+1$.
Việc còn lại là giải phương trình $log_{2}\left ( x^{2}+2^{x} \right )=x+1\Leftrightarrow 2^{x+1}-2^{x}=x^{2}\Leftrightarrow 2^{x}=x^{2}$$\left ( 1 \right )$
Lấy $logarit$ cơ số $2$ cả hai vế của $\left ( 1 \right )$ ta được $x=2log_{2}x$
(vì chỉ xét $x>0$).
Xét hàm số $g\left ( x \right )=2log_{2}x-x\left ( x>0 \right )$.
Ta có $g'\left ( x \right )=\frac{2}{x.ln2}-1;g''\left ( x \right )=\frac{-2}{x^{2}ln2}<0$.
Do đó phương trình $g\left ( x \right )=0$ có tối đa $2$ nghiệm $x>0$ (Định lí Rolle).
Mặt khác, ta thấy $g\left ( 2 \right )=g\left ( 4 \right )=0$.
Vậy $x=2$ và $x=4$ là những nghiệm thỏa mãn bài toán.
- duongtoi, WhjteShadow và BoBoiBoy thích
#3
Đã gửi 14-11-2012 - 11:14
Đặt $log_{2}\left ( x^{2}+2^{x} \right )=y\Rightarrow 2^{y}=x^{2}+2^{x}$.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với $2^{y}-2^{x}-x-1=2^{x}-y\Leftrightarrow 2^{y}+y=2^{x+1}+x+1$.
Xét hàm $f\left ( t \right )=2^{t}+t\left ( t\in \mathbb{R} \right )$.
Ta có $f'\left ( t \right )=2^{t}ln2+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$, suy ra $f\left ( t \right )$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $y=x+1$.
Việc còn lại là giải phương trình $log_{2}\left ( x^{2}+2^{x} \right )=x+1\Leftrightarrow 2^{x+1}-2^{x}=x^{2}\Leftrightarrow 2^{x}=x^{2}$$\left ( 1 \right )$
Lấy $logarit$ cơ số $2$ cả hai vế của $\left ( 1 \right )$ ta được $x=2log_{2}x$
(vì chỉ xét $x>0$).
Xét hàm số $g\left ( x \right )=2log_{2}x-x\left ( x>0 \right )$.
Ta có $g'\left ( x \right )=\frac{2}{x.ln2}-1;g''\left ( x \right )=\frac{-2}{x^{2}ln2}<0$.
Do đó phương trình $g\left ( x \right )=0$ có tối đa $2$ nghiệm $x>0$ (Định lí Rolle).
Mặt khác, ta thấy $g\left ( 2 \right )=g\left ( 4 \right )=0$.
Vậy $x=2$ và $x=4$ là những nghiệm thỏa mãn bài toán.
NX: Đối với cách giải này, thì đề bài không cần phải là tìm nghiệm nguyên.
Cách giải khác, hơi dài một chút nhưng có sử dụng tính chất nguyên dương.
Đặt $\log_{2}\left ( x^{2}+2^{x} \right )=y\Rightarrow 2^{y}=x^{2}+2^{x};y>x>0$.
PT có nghiệm nguyên dương $\Rightarrow y\in \mathbb{Z^*}.$
Bài toán có một bài toán con là tìm nguyệm dương của PT $2^{y}=x^{2}+2^{x}$.
$\Leftrightarrow x^2=2^x(2^{y-x}-1)$
Từ đây suy ra $x=2m$ và $x^2\ge 2^x$$\Leftrightarrow 2m\ge 2^m\Leftrightarrow m\ge2^{m-1}.$
Xét $m=1;m=2$ ta thấy thỏa mãn.
Với $m>2$ thì $2^m>2m$ nên không thỏa mãn với $m>2$.
Thử lại các nghiệm $x=2m=2;x=2m=4$ vào PT ban đầu ta thấy đều TM.
Vậy PT có nghiệm nguyên dương là $x=2;x=4$
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
#4
Đã gửi 14-11-2012 - 17:38
Đề yêu cầu là nghiệm dương chứ đâu phải là nghiệm nguyên dương đâu bạn?NX: Đối với cách giải này, thì đề bài không cần phải là tìm nghiệm nguyên.
Cách giải khác, hơi dài một chút nhưng có sử dụng tính chất nguyên dương.
Đặt $\log_{2}\left ( x^{2}+2^{x} \right )=y\Rightarrow 2^{y}=x^{2}+2^{x};y>x>0$.
PT có nghiệm nguyên dương $\Rightarrow y\in \mathbb{Z^*}.$
Bài toán có một bài toán con là tìm nguyệm dương của PT $2^{y}=x^{2}+2^{x}$.
$\Leftrightarrow x^2=2^x(2^{y-x}-1)$
Từ đây suy ra $x=2m$ và $x^2\ge 2^x$$\Leftrightarrow 2m\ge 2^m\Leftrightarrow m\ge2^{m-1}.$
Xét $m=1;m=2$ ta thấy thỏa mãn.
Với $m>2$ thì $2^m>2m$ nên không thỏa mãn với $m>2$.
Thử lại các nghiệm $x=2m=2;x=2m=4$ vào PT ban đầu ta thấy đều TM.
Vậy PT có nghiệm nguyên dương là $x=2;x=4$
#5
Đã gửi 14-11-2012 - 17:59
Đề yêu cầu là nghiệm dương chứ đâu phải là nghiệm nguyên dương đâu bạn?
Xin lỗi. Mình cứ đọc thành tìm nghiệm nguyên dương.
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh