Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Tìm tất cả các nghiệm dương của $x^2-x-1=2^x-log_2(x^2+2^x)$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-01-2006 - 16:34

Tìm tất cả các nghiệm dương của $x^2-x-1=2^x-log_2(x^2+2^x)$.
1728

#2 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-11-2012 - 10:47

Đặt $log_{2}\left ( x^{2}+2^{x} \right )=y\Rightarrow 2^{y}=x^{2}+2^{x}$.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với $2^{y}-2^{x}-x-1=2^{x}-y\Leftrightarrow 2^{y}+y=2^{x+1}+x+1$.
Xét hàm $f\left ( t \right )=2^{t}+t\left ( t\in \mathbb{R} \right )$.
Ta có $f'\left ( t \right )=2^{t}ln2+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$, suy ra $f\left ( t \right )$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $y=x+1$.
Việc còn lại là giải phương trình $log_{2}\left ( x^{2}+2^{x} \right )=x+1\Leftrightarrow 2^{x+1}-2^{x}=x^{2}\Leftrightarrow 2^{x}=x^{2}$$\left ( 1 \right )$
Lấy $logarit$ cơ số $2$ cả hai vế của $\left ( 1 \right )$ ta được $x=2log_{2}x$
(vì chỉ xét $x>0$).
Xét hàm số $g\left ( x \right )=2log_{2}x-x\left ( x>0 \right )$.
Ta có $g'\left ( x \right )=\frac{2}{x.ln2}-1;g''\left ( x \right )=\frac{-2}{x^{2}ln2}<0$.
Do đó phương trình $g\left ( x \right )=0$ có tối đa $2$ nghiệm $x>0$ (Định lí Rolle).
Mặt khác, ta thấy $g\left ( 2 \right )=g\left ( 4 \right )=0$.
Vậy $x=2$ và $x=4$ là những nghiệm thỏa mãn bài toán.

#3 duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 14-11-2012 - 11:14

Đặt $log_{2}\left ( x^{2}+2^{x} \right )=y\Rightarrow 2^{y}=x^{2}+2^{x}$.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với $2^{y}-2^{x}-x-1=2^{x}-y\Leftrightarrow 2^{y}+y=2^{x+1}+x+1$.
Xét hàm $f\left ( t \right )=2^{t}+t\left ( t\in \mathbb{R} \right )$.
Ta có $f'\left ( t \right )=2^{t}ln2+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$, suy ra $f\left ( t \right )$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $y=x+1$.
Việc còn lại là giải phương trình $log_{2}\left ( x^{2}+2^{x} \right )=x+1\Leftrightarrow 2^{x+1}-2^{x}=x^{2}\Leftrightarrow 2^{x}=x^{2}$$\left ( 1 \right )$
Lấy $logarit$ cơ số $2$ cả hai vế của $\left ( 1 \right )$ ta được $x=2log_{2}x$
(vì chỉ xét $x>0$).
Xét hàm số $g\left ( x \right )=2log_{2}x-x\left ( x>0 \right )$.
Ta có $g'\left ( x \right )=\frac{2}{x.ln2}-1;g''\left ( x \right )=\frac{-2}{x^{2}ln2}<0$.
Do đó phương trình $g\left ( x \right )=0$ có tối đa $2$ nghiệm $x>0$ (Định lí Rolle).
Mặt khác, ta thấy $g\left ( 2 \right )=g\left ( 4 \right )=0$.
Vậy $x=2$ và $x=4$ là những nghiệm thỏa mãn bài toán.


NX: Đối với cách giải này, thì đề bài không cần phải là tìm nghiệm nguyên.
Cách giải khác, hơi dài một chút nhưng có sử dụng tính chất nguyên dương.
Đặt $\log_{2}\left ( x^{2}+2^{x} \right )=y\Rightarrow 2^{y}=x^{2}+2^{x};y>x>0$.
PT có nghiệm nguyên dương $\Rightarrow y\in \mathbb{Z^*}.$
Bài toán có một bài toán con là tìm nguyệm dương của PT $2^{y}=x^{2}+2^{x}$.
$\Leftrightarrow x^2=2^x(2^{y-x}-1)$
Từ đây suy ra $x=2m$ và $x^2\ge 2^x$$\Leftrightarrow 2m\ge 2^m\Leftrightarrow m\ge2^{m-1}.$
Xét $m=1;m=2$ ta thấy thỏa mãn.
Với $m>2$ thì $2^m>2m$ nên không thỏa mãn với $m>2$.

Thử lại các nghiệm $x=2m=2;x=2m=4$ vào PT ban đầu ta thấy đều TM.
Vậy PT có nghiệm nguyên dương là $x=2;x=4$

#4 phatthientai

phatthientai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Đã gửi 14-11-2012 - 17:38

NX: Đối với cách giải này, thì đề bài không cần phải là tìm nghiệm nguyên.
Cách giải khác, hơi dài một chút nhưng có sử dụng tính chất nguyên dương.
Đặt $\log_{2}\left ( x^{2}+2^{x} \right )=y\Rightarrow 2^{y}=x^{2}+2^{x};y>x>0$.
PT có nghiệm nguyên dương $\Rightarrow y\in \mathbb{Z^*}.$
Bài toán có một bài toán con là tìm nguyệm dương của PT $2^{y}=x^{2}+2^{x}$.
$\Leftrightarrow x^2=2^x(2^{y-x}-1)$
Từ đây suy ra $x=2m$ và $x^2\ge 2^x$$\Leftrightarrow 2m\ge 2^m\Leftrightarrow m\ge2^{m-1}.$
Xét $m=1;m=2$ ta thấy thỏa mãn.
Với $m>2$ thì $2^m>2m$ nên không thỏa mãn với $m>2$.

Thử lại các nghiệm $x=2m=2;x=2m=4$ vào PT ban đầu ta thấy đều TM.
Vậy PT có nghiệm nguyên dương là $x=2;x=4$

Đề yêu cầu là nghiệm dương chứ đâu phải là nghiệm nguyên dương đâu bạn?

#5 duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 14-11-2012 - 17:59

Đề yêu cầu là nghiệm dương chứ đâu phải là nghiệm nguyên dương đâu bạn?


Xin lỗi. Mình cứ đọc thành tìm nghiệm nguyên dương.:D

#6 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-11-2012 - 11:07

Chấm điểm:
lehoanghiep: 10 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh